From b4b8020b755db3b6f132672c2da2aa0b0ac49e9b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andre Madrigal Chaves Date: Wed, 28 May 2025 16:03:18 -0600 Subject: [PATCH 1/2] =?UTF-8?q?Se=20agrega=20transcipci=C3=B3n=20de=20Andr?= =?UTF-8?q?=C3=A9=20Madrigal=20Chaves,=20C14361?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- docs/2_7_3_ejemplos_de_determinacion.md | 151 ++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 151 insertions(+) diff --git a/docs/2_7_3_ejemplos_de_determinacion.md b/docs/2_7_3_ejemplos_de_determinacion.md index 7f398cd..44d7124 100644 --- a/docs/2_7_3_ejemplos_de_determinacion.md +++ b/docs/2_7_3_ejemplos_de_determinacion.md @@ -2,6 +2,157 @@ [7 - Funciones que dan momentos](https://www.overleaf.com/read/cgwskrxfpkps#713512) +### Presentación + +[7 - Funciones que dan momentos](https://www.overleaf.com/read/cgwskrxfpkps#713512) +--- + +--- + +# Ejemplo de determinación de la función característica I + +Se define una variable aleatoria discreta $Y$ con la función de densidad probabilística + +$$ +\begin{aligned} + f_{Y}(y) = & P\{ X \leq x_{1} \}\delta(y-1) \\ + & + P\{ x_{1} < X \leq x_{2} \} \delta(y-2) \\ + & + P\{ x_{2} < X \leq x_{3} \}\delta(y-3) \\ + & + P\{ x_{3} < X < \infty \}\delta(y-4) +\end{aligned} +$$ + +*donde $X$ es una variable aleatoria gaussiana de media 50 y desviación estándar $\sigma = 10$, con $x_{1} = 25$; $x_{2} = 40$ y $x_{3} = 60$.* + + +1. Graficar $\displaystyle f_{Y}(y)$ utilizando los valores de probabilidades. + +2. Calcular la función característica de la variable aleatoria $Y$. + +3. Calcular $\displaystyle E[Y^2]$ y la varianza. + +--- +# Ejemplo de determinación de la función característica II + +**Parte 1:** Graficar $f_{Y}(y)$ utilizando los valores correspondientes de probabilidades. + +Para darle valores a la función de densidad $f_Y(y)$ es necesario normalizar $Z$ y calcular (con tabla o programa de cómputo): + +$$ +Z = \frac{X - 50}{10} +$$ + +![Distribución normal estándar con áreas coloreadas entre z=-2.5, z=-1, z=1](images/7_gauss_norm.svg) + +*Figura 1: Distribución Gaussiana normalizada (representación gráfica)* + +--- + +# Ejemplo de determinación de la función característica III + +- $P\{ X \leq 25 \} = F_X(25) = F_Z(-2.50) = 1 - F_Z(2.50) = 1 - 0.9938 = \mathbf{0.0062}$ +- $P\{ 25 < X \leq 40 \} = F_X(40) - F_X(25) = \mathbf{0.1525}$ +- $P\{ 40 < X \leq 60 \} = F_X(60) - F_X(40) = \mathbf{0.6826}$ +- $P\{ 60 < X < \infty \} = F_X(\infty) - F_X(60) = \mathbf{0.1587}$ + +Observar que $0.0062 + 0.1525 + 0.6826 + 0.1587 = 1$ Así entonces, la función de densidad discreta (PMF) de Y se reescribe como: + +$$ +\begin{aligned} + f_{Y}(y) = & 0.0062~ \delta(y-1) \\ + & + 0.1525~ \delta(y-2) \\ + & + 0.6826~ \delta(y-3) \\ + & + 0.1587~ \delta(y-4) +\end{aligned} +$$ + +--- + +# Ejemplo de determinación de la función característica IV + +![Función de densidad en t=1](images/7_pdf_discreta.svg) + +Figura: Función de densidad discreta (PMF) de la va Y (no está a escala). + + +# Ejemplo de determinación de la función característica V + +**Parte 2:** Calcular la función característica de la variable aleatoria $Y$ + +Por definición, la función característica es: + +$$ +\begin{aligned} +\Phi_{X}(\omega) &= E\left[ e^{j\omega X}\right] \\ + &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) e^{j\omega x} dx +\end{aligned} +$$ + +Aplicando a la variable aleatoria $Y$ resulta: + +$$ +\begin{aligned} +\Phi_{Y}(\omega) &= E\left[ e^{j\omega Y}\right] \\ + &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y) e^{j\omega y} dy \\ + &= \int_{-\infty}^{\infty} \left[ 0.0062 \delta(y-1) + 0.1525 \delta(y-2) \right. \\ + & \quad \left. + 0.6826 \delta(y-3) + 0.1587 \delta(y-4) \right] e^{j\omega y} dy +\end{aligned} +$$ + +--- +# Ejemplo de determinación de la función característica VI + +### Recordatorio sobre la función impulso + +La función impulso o delta de Dirac está definida como: + +$$ +\delta(x - x_0) = +\begin{cases} ++\infty & x = x_0 \\ +0 & \text{en otra parte} +\end{cases} +$$ + +Y su integral es: + +$$ +\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) dx = 1 +$$ + +pero más en general: + +$$ +\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x - x_0) f(x) dx = f(x_0)} +$$ + +--- + +# Ejemplo de determinación de la función característica VII + + +Continuando, se determina entonces: + +$$ +\begin{aligned} +\Phi_{Y}(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} \left[ 0.0062 \delta(y-1) + 0.1525 \delta(y-2) \right. \\ + & \quad \left. + 0.6826 \delta(y-3) + 0.1587 \delta(y-4) \right] e^{j\omega y} dy +\end{aligned} +$$ + +Aplicando la propiedad del delta de Dirac: + +$$ +\boxed{\Phi_{Y}(\omega) = 0.0062 e^{j\omega 1} + 0.1525 e^{j\omega 2} + 0.6826 e^{j\omega 3} + 0.1587 e^{j\omega 4}} +$$ + +Que es la función característica de $Y$. + + +### Secciones +- Ejemplo de determinación de la función característica I-VII (18 - 24) + + ### Secciones - Ejemplo de determinación de la función característica I-VII (18 - 24) From db6a2fc7914584222dfe89f9dce19d3991c3de39 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andre Madrigal Chaves Date: Thu, 19 Jun 2025 23:39:45 -0600 Subject: [PATCH 2/2] Se modifico de acuerdo a la correccion Signed-off-by: Andre Madrigal Chaves --- docs/2_7_3_ejemplos_de_determinacion.md | 58 +++++++++---------------- 1 file changed, 21 insertions(+), 37 deletions(-) diff --git a/docs/2_7_3_ejemplos_de_determinacion.md b/docs/2_7_3_ejemplos_de_determinacion.md index 44d7124..fc83163 100644 --- a/docs/2_7_3_ejemplos_de_determinacion.md +++ b/docs/2_7_3_ejemplos_de_determinacion.md @@ -1,38 +1,32 @@ -### Presentación -[7 - Funciones que dan momentos](https://www.overleaf.com/read/cgwskrxfpkps#713512) +# Ejemplo de determinación de la función característica -### Presentación -[7 - Funciones que dan momentos](https://www.overleaf.com/read/cgwskrxfpkps#713512) ---- - ---- - -# Ejemplo de determinación de la función característica I +:material-pencil-box: **EJEMPLO** -Se define una variable aleatoria discreta $Y$ con la función de densidad probabilística - -$$ -\begin{aligned} - f_{Y}(y) = & P\{ X \leq x_{1} \}\delta(y-1) \\ - & + P\{ x_{1} < X \leq x_{2} \} \delta(y-2) \\ - & + P\{ x_{2} < X \leq x_{3} \}\delta(y-3) \\ - & + P\{ x_{3} < X < \infty \}\delta(y-4) -\end{aligned} -$$ +!!! example "Ejemplo de determinación de la función característica" -*donde $X$ es una variable aleatoria gaussiana de media 50 y desviación estándar $\sigma = 10$, con $x_{1} = 25$; $x_{2} = 40$ y $x_{3} = 60$.* + Se define una variable aleatoria discreta $Y$ con la función de densidad probabilística: + $$ + \begin{aligned} + f_{Y}(y) =\ & P\{ X \leq x_{1} \}\delta(y-1) \\ + & + P\{ x_{1} < X \leq x_{2} \} \delta(y-2) \\ + & + P\{ x_{2} < X \leq x_{3} \}\delta(y-3) \\ + & + P\{ x_{3} < X < \infty \}\delta(y-4) + \end{aligned} + $$ -1. Graficar $\displaystyle f_{Y}(y)$ utilizando los valores de probabilidades. + donde $X$ es una variable aleatoria gaussiana de media 50 y desviación estándar $\sigma = 10$, con $x_{1} = 25$, $x_{2} = 40$ y $x_{3} = 60$. -2. Calcular la función característica de la variable aleatoria $Y$. + Se solicita: -3. Calcular $\displaystyle E[Y^2]$ y la varianza. + 1. Graficar $\displaystyle f_{Y}(y)$ utilizando los valores de probabilidades. + 2. Calcular la función característica de la variable aleatoria $Y$. + 3. Calcular $\displaystyle E[Y^2]$ y la varianza. --- -# Ejemplo de determinación de la función característica II + **Parte 1:** Graficar $f_{Y}(y)$ utilizando los valores correspondientes de probabilidades. @@ -48,7 +42,7 @@ $$ --- -# Ejemplo de determinación de la función característica III + - $P\{ X \leq 25 \} = F_X(25) = F_Z(-2.50) = 1 - F_Z(2.50) = 1 - 0.9938 = \mathbf{0.0062}$ - $P\{ 25 < X \leq 40 \} = F_X(40) - F_X(25) = \mathbf{0.1525}$ @@ -68,14 +62,14 @@ $$ --- -# Ejemplo de determinación de la función característica IV + ![Función de densidad en t=1](images/7_pdf_discreta.svg) Figura: Función de densidad discreta (PMF) de la va Y (no está a escala). -# Ejemplo de determinación de la función característica V + **Parte 2:** Calcular la función característica de la variable aleatoria $Y$ @@ -100,7 +94,6 @@ $$ $$ --- -# Ejemplo de determinación de la función característica VI ### Recordatorio sobre la función impulso @@ -128,7 +121,6 @@ $$ --- -# Ejemplo de determinación de la función característica VII Continuando, se determina entonces: @@ -148,11 +140,3 @@ $$ Que es la función característica de $Y$. - -### Secciones -- Ejemplo de determinación de la función característica I-VII (18 - 24) - - -### Secciones -- Ejemplo de determinación de la función característica I-VII (18 - 24) -