From c730942168cdae26f8dc5a803cc87bac0d016f06 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Oscar-Fuentes11 Date: Wed, 28 May 2025 23:30:23 +0000 Subject: [PATCH 1/2] Edit transcripcion --- docs/2_6_1_valor_esperado_va.md | 156 +++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 152 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/docs/2_6_1_valor_esperado_va.md b/docs/2_6_1_valor_esperado_va.md index 9841a93..33181f0 100644 --- a/docs/2_6_1_valor_esperado_va.md +++ b/docs/2_6_1_valor_esperado_va.md @@ -1,6 +1,154 @@ -### Presentación +!!! note "Introducción" -[6 - Valor esperado y momento de una variable aleatoria](https://www.overleaf.com/read/sddgrhxfdtjs#ff3cb6) + El valor esperado y los "momentos" (su generalización) permiten caracterizar numéricamente el comportamiento o las tendencias de una variable aleatoria. -### Secciones -- Valor esperado de una variable aleatoria (1 - 13) \ No newline at end of file +# Valor esperado de una variable aleatoria, $E[X]$ + +El valor esperado de una variable aleatoria es uno de los resultados más importantes y más frecuentemente utilizados. Ya lo conocíamos en su forma discreta como "promedio". + +!!! example "Ejemplo de la escala de Apgar" + + Los bebés son evaluados en la *escala de Apgar*, creada por Virginia Apgar, quien le puso el retrónimo *Appearance, Pulse, Grimace, Activity, Respiration*. + + Sea $X$ el puntaje de Apgar de un niño seleccionado aleatoriamente en cierto hospital, y suponga que la función de masa de probabilidad (PMF) $P(X)$ es: + + | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | + |-------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------| + | P(x) | 0.002| 0.001| 0.002| 0.005| 0.02 | 0.04 | 0.18 | 0.37 | 0.25 | 0.12 | 0.01 | + + **¿Cuál valor de $X$ esperaríamos si elegimos un niño(a) al azar?** + +![Distribución Apgar](images/apgar.svg) + +!!! important "Definición" + + El *valor esperado* es un operador denotado $E[\cdot]$, también conocido como esperanza matemática, valor medio, media o promedio estadístico. + +> Un promedio puede verse como "el número más cercano a todos los números del conjunto, en el sentido de que la suma de las distancias desde él a todos los puntos es la más pequeña". Similar a un *centro de gravedad*. + +![PDF y valor esperado como centro de gravedad](images/esperado_promedio.svg) + +## Valor esperado de una variable aleatoria continua + +!!! tip "Valor esperado de una variable aleatoria continua" + + $$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\, \mathrm{d}x \triangleq \overline{X}$$ + +Este valor se obtiene utilizando la función de densidad $f_X(x)$, que asigna un peso a cada valor infinitesimal de $x$. + +!!! example "Ejemplo: Promedio de una distribución exponencial" + + Sea $X$ una variable aleatoria exponencial con: + + $$ + f_X(x) = + \begin{cases} + \lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ + 0 & x < 0 + \end{cases} + $$ + + ¿Cuál es su valor esperado? + + $$ + \begin{aligned} + E[X] &= \int_{0}^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} \, \mathrm{d}x \\ + &= \left. -x e^{-\lambda x} \right|_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{\lambda} + \end{aligned} + $$ + +## Valor esperado de una variable aleatoria discreta + +Si $X$ es discreta con valores $x_i$ y probabilidades $P(x_i)$: + +$$E[X] = \sum_{i=1}^N x_i P(x_i)$$ + +!!! tip "Valor esperado de una variable aleatoria discreta" + + El valor esperado es la suma ponderada de los posibles valores: + + $$E[X] = \sum_{i=1}^N x_i P(x_i) \triangleq \overline{X}$$ + +## Valor esperado de una variable aleatoria simétrica + +Si la función de densidad es simétrica alrededor de $x = a$, entonces: + +$$E[X] = a \quad \text{si} \quad f_X(x + a) = f_X(-x + a)$$ + +![PDF simétrica](images/pdf_simetrica.svg) + +# Valor esperado de una función, $E[g(X)]$ + +Para una función $g(X)$ de una variable aleatoria $X$: + +!!! important "Definición" + + $$E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x) \, \mathrm{d}x$$ + +Si $X$ es discreta: + +!!! important "Definición" + + $$E[g(X)] = \sum_{i=1}^N g(x_i) P(x_i)$$ + +> En general: $E[g(X)] \neq g(E[X])$ + +!!! example "Ejemplo: Potencia disipada en un resistor" + + Sea $I$ una corriente con distribución uniforme entre 1 A y 3 A. Entonces: + + $$ + f_I(i) = + \begin{cases} + 1/2 & 1 < i < 3 \\ + 0 & \text{otro caso} + \end{cases} + $$ + + - Promedio de la corriente: + + $$ + E[I] = \int_{1}^{3} i \cdot \frac{1}{2} \, \mathrm{d}i = 2~A + $$ + + - Potencia disipada: $P = I^2 R$, con $R = 1\,\Omega$ + + $$ + E[P] = \int_{1}^{3} i^2 \cdot \frac{1}{2} \, \mathrm{d}i = \frac{13}{3} \approx 4.33~W + $$ + +![PDF corriente uniforme](images/corriente_uniforme.svg) +![Potencia cuadrática](images/potencia_cuadratica.svg) + +# Valor esperado condicional, $E[X\mid B]$ + +El valor esperado condicional depende de la función de densidad condicional: + +!!! important "Definición" + + $$E[X \mid B] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x \mid B) \, \mathrm{d}x$$ + +## Caso especial: $B = \{X \leq b\}$ + +La densidad condicional es: + +$$ +f_X(x \mid X \leq b) = +\begin{cases} +\frac{f_X(x)}{\int_{-\infty}^{b} f_X(x) \, \mathrm{d}x} & x < b \\ +0 & x \geq b +\end{cases} +$$ + +Entonces: + +$$ +\begin{aligned} +E[X \mid X \leq b] &= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{f_X(x)}{\int_{-\infty}^{b} f_X(x) \, \mathrm{d}x} \, \mathrm{d}x \\ +&= \frac{E[X]}{P(B)} +\end{aligned} +$$ + +> Este es el valor esperado de $X$ restringido al conjunto $\{X \leq b\}$. + +![Visualización de $\{X \leq b\}$](images/X_leq_b.svg) \ No newline at end of file From 2bca8e9e9c7044152a491cf74408cbc1d0cbe624 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Oscar-Fuentes11 Date: Thu, 19 Jun 2025 00:42:13 +0000 Subject: [PATCH 2/2] Actualiza archivo 2_6_1_valor_esperado_va.md con correcciones --- docs/2_6_1_valor_esperado_va.md | 42 ++++++++++++++++++++++----------- 1 file changed, 28 insertions(+), 14 deletions(-) diff --git a/docs/2_6_1_valor_esperado_va.md b/docs/2_6_1_valor_esperado_va.md index 33181f0..6c5ec79 100644 --- a/docs/2_6_1_valor_esperado_va.md +++ b/docs/2_6_1_valor_esperado_va.md @@ -18,7 +18,7 @@ El valor esperado de una variable aleatoria es uno de los resultados más import **¿Cuál valor de $X$ esperaríamos si elegimos un niño(a) al azar?** -![Distribución Apgar](images/apgar.svg) +![Distribución Apgar](images/6_escala_apgar.svg) !!! important "Definición" @@ -26,7 +26,7 @@ El valor esperado de una variable aleatoria es uno de los resultados más import > Un promedio puede verse como "el número más cercano a todos los números del conjunto, en el sentido de que la suma de las distancias desde él a todos los puntos es la más pequeña". Similar a un *centro de gravedad*. -![PDF y valor esperado como centro de gravedad](images/esperado_promedio.svg) +![PDF y valor esperado como centro de gravedad](images/6_pdf_rayleigh.svg) ## Valor esperado de una variable aleatoria continua @@ -61,6 +61,15 @@ Este valor se obtiene utilizando la función de densidad $f_X(x)$, que asigna un Si $X$ es discreta con valores $x_i$ y probabilidades $P(x_i)$: +\[ +E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \sum_{i=1}^{N} P(x_i)\, \delta(x - x_i)\, dx +\] + +\[ += \sum_{i=1}^{N} P(x_i) \int_{-\infty}^{\infty} x\, \delta(x - x_i)\, dx = \sum_{i=1}^{N} x_i P(x_i) +\] + + $$E[X] = \sum_{i=1}^N x_i P(x_i)$$ !!! tip "Valor esperado de una variable aleatoria discreta" @@ -75,7 +84,7 @@ Si la función de densidad es simétrica alrededor de $x = a$, entonces: $$E[X] = a \quad \text{si} \quad f_X(x + a) = f_X(-x + a)$$ -![PDF simétrica](images/pdf_simetrica.svg) +![PDF simétrica](images/6_pdf_simetrica.svg) # Valor esperado de una función, $E[g(X)]$ @@ -105,20 +114,25 @@ Si $X$ es discreta: \end{cases} $$ - - Promedio de la corriente: + ¿Cuál es el valor esperado de la corriente $I$? ¿Y de la potencia $P = I^2 R$ si $R = 1\,\Omega$? - $$ - E[I] = \int_{1}^{3} i \cdot \frac{1}{2} \, \mathrm{d}i = 2~A - $$ +**Solución:** - - Potencia disipada: $P = I^2 R$, con $R = 1\,\Omega$ +- Promedio de la corriente: - $$ - E[P] = \int_{1}^{3} i^2 \cdot \frac{1}{2} \, \mathrm{d}i = \frac{13}{3} \approx 4.33~W - $$ +\[ +E[I] = \int_{1}^{3} i \cdot \frac{1}{2} \, \mathrm{d}i = \left. \frac{1}{4} i^2 \right|_1^3 = \frac{9 - 1}{4} = 2~A +\] + +- Potencia disipada: + +\[ +E[P] = \int_{1}^{3} i^2 \cdot \frac{1}{2} \, \mathrm{d}i = \left. \frac{1}{6} i^3 \right|_1^3 = \frac{27 - 1}{6} = \frac{26}{6} \approx 4.33~W +\] + +![PDF corriente uniforme](images/6_prom_corriente.svg) +![Potencia cuadrática](images/6_prom_potencia.svg) -![PDF corriente uniforme](images/corriente_uniforme.svg) -![Potencia cuadrática](images/potencia_cuadratica.svg) # Valor esperado condicional, $E[X\mid B]$ @@ -151,4 +165,4 @@ $$ > Este es el valor esperado de $X$ restringido al conjunto $\{X \leq b\}$. -![Visualización de $\{X \leq b\}$](images/X_leq_b.svg) \ No newline at end of file +![Visualización de $\{X \leq b\}$](images/6_X_leq_b.svg) \ No newline at end of file