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Date: Wed, 28 May 2025 19:36:40 -0600
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 docs/2_7_4_ejemplos_de_determinacion.md | 75 +++++++++++++++++++++++++
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 ### Secciones
 - Ejemplo de determinación de la función característica VIII-XII (18 - 24)
 
+# Ejemplo de determinación de la función característica
+
+!!! note "Definición del problema"
+    Se define una variable aleatoria discreta \( Y \) con la función de densidad:
+
+$$
+\begin{aligned}
+f_Y(y) = & P\{ X \leq x_1 \} \delta(y - 1) + P\{ x_1 < X \leq x_2 \} \delta(y - 2) \\
+         & + P\{ x_2 < X \leq x_3 \} \delta(y - 3) + P\{ x_3 < X < \infty \} \delta(y - 4)
+\end{aligned}
+$$
+
+donde \( X \) es una variable aleatoria gaussiana de media 50 y desviación estándar \( \sigma = 10 \),  
+con \( x_1 = 25 \); \( x_2 = 40 \) y \( x_3 = 60 \).
+
+
+## Parte 1: Graficar \( f_Y(y) \)
+
+Primero se normaliza:
+
+$$
+Z = \frac{X - 50}{10}
+$$
+
+![Distribución normal estandarizada](images/f_gauss_norm.svg)
+
+Cálculo de probabilidades:
+
+- \( P(X \leq 25) = F_Z(-2.5) = 0.0062 \)
+- \( P(25 < X \leq 40) = F_Z(-1.0) - F_Z(-2.5) = 0.1525 \)
+- \( P(40 < X \leq 60) = F_Z(1.0) - F_Z(-1.0) = 0.6826 \)
+- \( P(60 < X) = 1 - F_Z(1.0) = 0.1587 \)
+
+Verificación:  
+\( 0.0062 + 0.1525 + 0.6826 + 0.1587 = 1 \)
+
+Entonces:
+
+$$
+\begin{aligned}
+f_Y(y) = & 0.0062 \, \delta(y-1) + 0.1525 \, \delta(y-2) \\
+         & + 0.6826 \, \delta(y-3) + 0.1587 \, \delta(y-4)
+\end{aligned}
+$$
+
+![Función de densidad discreta (PMF)](images/Captura.png)
+
+## Parte 2: Calcular la función característica de \( Y \)
+
+Por definición:
+
+$$
+\Phi_Y(\omega) = E[e^{j \omega Y}] = \int_{-\infty}^{\infty} f_Y(y) e^{j \omega y} \, dy
+$$
+
+Sustituyendo \( f_Y(y) \):
+
+$$
+\begin{aligned}
+\Phi_Y(\omega) = & \int_{-\infty}^{\infty} [ 0.0062 \delta(y-1) + 0.1525 \delta(y-2) \\
+                  & + 0.6826 \delta(y-3) + 0.1587 \delta(y-4) ] e^{j \omega y} \, dy
+\end{aligned}
+$$
+
+### Nota sobre la delta de Dirac:
+
+$$
+\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x - a) f(x) dx = f(a)
+$$
+
+Aplicando:
+
+$$
+\Phi_Y(\omega) = 0.0062 e^{j \omega} + 0.1525 e^{j 2\omega} + 0.6826 e^{j 3\omega} + 0.1587 e^{j 4\omega}
+$$