From 4d089551d8bf88040da409cc44af3124cdaf33dd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Ra=C3=BAl=20Villalobos?= Date: Wed, 28 May 2025 20:52:17 -0600 Subject: [PATCH 1/2] =?UTF-8?q?Transcripci=C3=B3n=20Ra=C3=BAl=20Villalobos?= =?UTF-8?q?=20Vega=20C18555?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- docs/1_0_2_combinatorio.md | 169 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 165 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/docs/1_0_2_combinatorio.md b/docs/1_0_2_combinatorio.md index ecf787b..01c4a94 100644 --- a/docs/1_0_2_combinatorio.md +++ b/docs/1_0_2_combinatorio.md @@ -1,7 +1,168 @@ -### Presentación +# Algunos resultados útiles del análisis combinatorio -[0 - Teoría de conjuntos y análisis combinatorio](https://www.overleaf.com/read/rdsdsqffjcwc#f222aa) +## Regla de la multiplicación -### Secciones +En un diagrama tipo árbol donde el $i$-ésimo nivel tiene $n_i$ ramas, entonces la cantidad de posibles combinaciones en $r$ niveles es: -- Algunos resultados útiles del análisis combinatorio (20 - 30) \ No newline at end of file +$$ +n_1 \times n_2 \cdots \times n_r +$$ + +**Ejemplo** + +- ¿Cuántas combinaciones posibles hay con cuatro sabores de helados y tres conos distintos? +- ¿Cuántas combinaciones posibles hay con cuatro sabores de helados, tres conos distintos y diez *toppings*? + +--- + +## Posibles arreglos de un mazo de cartas con 52 cartas + +**Regla de la multiplicación:** + +$$ +\textbf{52!} = 80\,658\,175\,170\,943\,878\,571\,660\,636\,856\,403\,766\,975\,289\,505\,440\,883\,277\,824\,000\,000\,000\,000 +$$ + +Este número es **grande**. + +--- + +## Combinatoria enumerativa: contar (números grandes) + +En muchos análisis de la situación que se estudia, es necesario "contar" todos los resultados elementales posibles de un experimento. Este puede ser un número muy grande. + +Los principales tipos son **combinaciones**, **permutaciones**, **particiones** y **composiciones**. + +--- + +## Combinaciones + +Es la selección de $k$ ítemes de una colección de $n$ elementos, *donde el orden no importa*. + +$$ +_n\mathbf{C}_k \equiv \binom{n}{k} \equiv \frac{n!}{k! (n-k)!} +$$ + +Se lee $_n\mathbf{C}_k$ como “de $n$ escoge $k$” y $\binom{n}{k}$ es el **_coeficiente binomial_**. + +**Ejemplo** + +Para hacer un grupo de cinco personas de una clase de 30 alumnos hay + +$$ +_{30}\mathbf{C}_5 \equiv \binom{30}{5} \equiv \frac{30!}{5! (30-5)!} = 142\,506 +$$ + +combinaciones posibles. + +> Fuentes: **MathWorld** () y **Wikipedia** () + +--- + +## Permutaciones + +Es el arreglo de $k$ ítemes de una colección de $n$ elementos, *donde el orden sí importa*. + +$$ +_n\mathbf{P}_k \equiv \frac{n!}{(n-k)!} +$$ + +Se lee $_n\mathbf{P}_k$ como "de $n$ escoge $k$". + +**Ejemplo** + +Para hacer una *junta directiva* de cinco personas de una clase de 30 alumnos hay + +$$ +_{30}\mathbf{P}_5 \equiv \frac{30!}{(30-5)!} = 17\,100\,720 +$$ + +permutaciones posibles. + +> Fuentes: **MathWorld** () y **Wikipedia** () + +--- + +## Particiones + +Sean $r_{1}, ..., r_{l}$, con $l$ un entero positivo, números tales que $r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{l} = n$. Entonces, la cantidad de formas en las que una población de $n$ elementos puede ser particionada en $l$ sub-poblaciones donde la primera contiene $r_{1}$ elementos, la segunda $r_{2}$ y así sucesivamente, es: + +$$ +\frac{n!}{r_{1}!r_{2}! \cdots r_{l}!} +$$ + +Este coeficiente es conocido como **_coeficiente multinominal_**. + +**Ejemplo** + +Un vendedor de autos tiene 6 carros disponibles de distinto modelo cada uno y los quiere acomodar en grupos de 1, 2 y 3 carros respectivamente por un tema de espacio. ¿De cuántas formas distintas los puede acomodar? + +$$ +n_E = \frac{6!}{1!\times 2! \times 3!} = 60 +$$ + +> Fuente: Stark, H., Woods, J. (2012) *Probability, Statistics, and Random Processes for Engineers*. Nueva Jersey: Pearson. + +--- + +## Composiciones + +Una composición en análisis combinatorio es un arreglo ordenado de $k$ elementos no negativos que suman $n$. Es por tanto una partición en la que el orden sí importa. + +Por ejemplo, hay ocho composiciones de 4: + +$$ +\begin{aligned} +4 &= 4 \\\\ + &= 3+1 \\\\ + &= 2+2 \\\\ + &= 2+1+1 \\\\ + &= 1+3 \\\\ + &= 1+2+1 \\\\ + &= 1+1+2 \\\\ + &= 1+1+1+1 +\end{aligned} +$$ + +Un entero positivo $n$ tiene $2^{(n-1)}$ composiciones. + +El número de composiciones de $n$ en $k$ partes (donde 0 no es una parte) está dado por: + +$$ +\begin{aligned} +\mathbf{C}_k(n) &= {n-1 \choose k-1} \\\\ + &= \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} +\end{aligned} +$$ + +> Fuente: Stover, Christopher y Weisstein, Eric W. "Composition". De MathWorld -- A Wolfram Web Resource. + +--- + +## Otros ejemplos + +- Una “mano de poker” consiste en cinco cartas escogidas de un mazo de 52 cartas: + + $$ + _{52}\mathbf{C}_5 \equiv \binom{52}{5} \equiv \frac{52!}{5! (52-5)!} = 2\,598\,960 + $$ + +- Las placas de carros en el país tienen tres consonantes y tres números, ¿cuántas placas son posibles? ¿Se agotarán pronto? + + $$ + 21 \times 21 \times 21 \times 10 \times 10 \times 10 = 9\,261\,000 + $$ + +- Las campanas de una iglesia, tocadas al estilo inglés. + +--- + +## Videos y referencias en internet + +Cuando sea posible, las presentaciones tendrán referencias a videos o artículos útiles... o al menos entretenidos. + +- ▶ **How secure is 256 bit security?**, *3Blue1Brown*: +- ▶ **Mathematical Impressions: Change Ringing**, *SimonsFoundation*: + + + Muchas veces los videos serán en inglés, quizá con subtítulos. Aunque espero que no sea un inconveniente, ojalá sirva de gentil recordatorio de la importancia de seguir aprendiendo inglés. \ No newline at end of file From 4121a81e3c3e9eaad3d4194106c25b93c1d2f68a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Ra=C3=BAl=20Villalobos?= Date: Thu, 19 Jun 2025 23:56:54 -0600 Subject: [PATCH 2/2] =?UTF-8?q?Transcripci=C3=B3n=20con=20arreglos?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- docs/1_0_2_combinatorio.md | 139 ++++++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 75 insertions(+), 64 deletions(-) diff --git a/docs/1_0_2_combinatorio.md b/docs/1_0_2_combinatorio.md index 01c4a94..6cd350b 100644 --- a/docs/1_0_2_combinatorio.md +++ b/docs/1_0_2_combinatorio.md @@ -10,8 +10,9 @@ $$ **Ejemplo** -- ¿Cuántas combinaciones posibles hay con cuatro sabores de helados y tres conos distintos? -- ¿Cuántas combinaciones posibles hay con cuatro sabores de helados, tres conos distintos y diez *toppings*? +!!! example + - ¿Cuántas combinaciones posibles hay con cuatro sabores de helados y tres conos distintos? + - ¿Cuántas combinaciones posibles hay con cuatro sabores de helados, tres conos distintos y diez *toppings*? --- @@ -37,23 +38,25 @@ Los principales tipos son **combinaciones**, **permutaciones**, **particiones** ## Combinaciones -Es la selección de $k$ ítemes de una colección de $n$ elementos, *donde el orden no importa*. +!!! tip "Combinaciones" + Es la selección de $k$ ítemes de una colección de $n$ elementos, *donde el orden no importa*. -$$ -_n\mathbf{C}_k \equiv \binom{n}{k} \equiv \frac{n!}{k! (n-k)!} -$$ + $$ + _n\mathbf{C}_k \equiv \binom{n}{k} \equiv \frac{n!}{k! (n-k)!} + $$ -Se lee $_n\mathbf{C}_k$ como “de $n$ escoge $k$” y $\binom{n}{k}$ es el **_coeficiente binomial_**. + Se lee $_n\mathbf{C}_k$ como “de $n$ escoge $k$” y $\binom{n}{k}$ es el **_coeficiente binomial_**. **Ejemplo** -Para hacer un grupo de cinco personas de una clase de 30 alumnos hay +!!! example + Para hacer un grupo de cinco personas de una clase de 30 alumnos hay -$$ -_{30}\mathbf{C}_5 \equiv \binom{30}{5} \equiv \frac{30!}{5! (30-5)!} = 142\,506 -$$ + $$ + _{30}\mathbf{C}_5 \equiv \binom{30}{5} \equiv \frac{30!}{5! (30-5)!} = 142\,506 + $$ -combinaciones posibles. + combinaciones posibles. > Fuentes: **MathWorld** () y **Wikipedia** () @@ -61,23 +64,25 @@ combinaciones posibles. ## Permutaciones -Es el arreglo de $k$ ítemes de una colección de $n$ elementos, *donde el orden sí importa*. +!!! tip "Permutaciones" + Es el arreglo de $k$ ítemes de una colección de $n$ elementos, *donde el orden sí importa*. -$$ -_n\mathbf{P}_k \equiv \frac{n!}{(n-k)!} -$$ + $$ + _n\mathbf{P}_k \equiv \frac{n!}{(n-k)!} + $$ -Se lee $_n\mathbf{P}_k$ como "de $n$ escoge $k$". + Se lee $_n\mathbf{P}_k$ como "de $n$ escoge $k$". **Ejemplo** -Para hacer una *junta directiva* de cinco personas de una clase de 30 alumnos hay +!!! example + Para hacer una *junta directiva* de cinco personas de una clase de 30 alumnos hay -$$ -_{30}\mathbf{P}_5 \equiv \frac{30!}{(30-5)!} = 17\,100\,720 -$$ + $$ + _{30}\mathbf{P}_5 \equiv \frac{30!}{(30-5)!} = 17\,100\,720 + $$ -permutaciones posibles. + permutaciones posibles. > Fuentes: **MathWorld** () y **Wikipedia** () @@ -85,21 +90,23 @@ permutaciones posibles. ## Particiones -Sean $r_{1}, ..., r_{l}$, con $l$ un entero positivo, números tales que $r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{l} = n$. Entonces, la cantidad de formas en las que una población de $n$ elementos puede ser particionada en $l$ sub-poblaciones donde la primera contiene $r_{1}$ elementos, la segunda $r_{2}$ y así sucesivamente, es: +!!! tip "Particiones" + Sean $r_{1}, ..., r_{l}$, con $l$ un entero positivo, números tales que $r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{l} = n$. Entonces, la cantidad de formas en las que una población de $n$ elementos puede ser particionada en $l$ sub-poblaciones donde la primera contiene $r_{1}$ elementos, la segunda $r_{2}$ y así sucesivamente, es: -$$ -\frac{n!}{r_{1}!r_{2}! \cdots r_{l}!} -$$ + $$ + \frac{n!}{r_{1}!r_{2}! \cdots r_{l}!} + $$ -Este coeficiente es conocido como **_coeficiente multinominal_**. + Este coeficiente es conocido como **_coeficiente multinominal_**. **Ejemplo** -Un vendedor de autos tiene 6 carros disponibles de distinto modelo cada uno y los quiere acomodar en grupos de 1, 2 y 3 carros respectivamente por un tema de espacio. ¿De cuántas formas distintas los puede acomodar? +!!! example + Un vendedor de autos tiene 6 carros disponibles de distinto modelo cada uno y los quiere acomodar en grupos de 1, 2 y 3 carros respectivamente por un tema de espacio. ¿De cuántas formas distintas los puede acomodar? -$$ -n_E = \frac{6!}{1!\times 2! \times 3!} = 60 -$$ + $$ + n_E = \frac{6!}{1!\times 2! \times 3!} = 60 + $$ > Fuente: Stark, H., Woods, J. (2012) *Probability, Statistics, and Random Processes for Engineers*. Nueva Jersey: Pearson. @@ -107,33 +114,34 @@ $$ ## Composiciones -Una composición en análisis combinatorio es un arreglo ordenado de $k$ elementos no negativos que suman $n$. Es por tanto una partición en la que el orden sí importa. +!!! tip "Composiciones" + Una composición en análisis combinatorio es un arreglo ordenado de $k$ elementos no negativos que suman $n$. Es por tanto una partición en la que el orden sí importa. -Por ejemplo, hay ocho composiciones de 4: + Por ejemplo, hay ocho composiciones de 4: -$$ -\begin{aligned} -4 &= 4 \\\\ - &= 3+1 \\\\ - &= 2+2 \\\\ - &= 2+1+1 \\\\ - &= 1+3 \\\\ - &= 1+2+1 \\\\ - &= 1+1+2 \\\\ - &= 1+1+1+1 -\end{aligned} -$$ + $$ + \begin{aligned} + 4 &= 4 \\\\ + &= 3+1 \\\\ + &= 2+2 \\\\ + &= 2+1+1 \\\\ + &= 1+3 \\\\ + &= 1+2+1 \\\\ + &= 1+1+2 \\\\ + &= 1+1+1+1 + \end{aligned} + $$ -Un entero positivo $n$ tiene $2^{(n-1)}$ composiciones. + Un entero positivo $n$ tiene $2^{(n-1)}$ composiciones. -El número de composiciones de $n$ en $k$ partes (donde 0 no es una parte) está dado por: + El número de composiciones de $n$ en $k$ partes (donde 0 no es una parte) está dado por: -$$ -\begin{aligned} -\mathbf{C}_k(n) &= {n-1 \choose k-1} \\\\ - &= \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} -\end{aligned} -$$ + $$ + \begin{aligned} + \mathbf{C}_k(n) &= {n-1 \choose k-1} \\\\ + &= \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} + \end{aligned} + $$ > Fuente: Stover, Christopher y Weisstein, Eric W. "Composition". De MathWorld -- A Wolfram Web Resource. @@ -141,19 +149,23 @@ $$ ## Otros ejemplos -- Una “mano de poker” consiste en cinco cartas escogidas de un mazo de 52 cartas: +!!! example + - Una “mano de poker” consiste en cinco cartas escogidas de un mazo de 52 cartas, ¿cuántas posibilidades hay? - $$ - _{52}\mathbf{C}_5 \equiv \binom{52}{5} \equiv \frac{52!}{5! (52-5)!} = 2\,598\,960 - $$ + + $$ + _{52}\mathbf{C}_5 \equiv \binom{52}{5} \equiv \frac{52!}{5! (52-5)!} = 2\,598\,960 + $$ -- Las placas de carros en el país tienen tres consonantes y tres números, ¿cuántas placas son posibles? ¿Se agotarán pronto? +!!! example + - Las placas de carros en el país tienen tres consonantes y tres números, ¿cuántas placas son posibles? ¿Se agotarán pronto? + + + $$ + 21 \times 21 \times 21 \times 10 \times 10 \times 10 = 9\,261\,000 + $$ - $$ - 21 \times 21 \times 21 \times 10 \times 10 \times 10 = 9\,261\,000 - $$ -- Las campanas de una iglesia, tocadas al estilo inglés. --- @@ -164,5 +176,4 @@ Cuando sea posible, las presentaciones tendrán referencias a videos o artículo - ▶ **How secure is 256 bit security?**, *3Blue1Brown*: - ▶ **Mathematical Impressions: Change Ringing**, *SimonsFoundation*: - - Muchas veces los videos serán en inglés, quizá con subtítulos. Aunque espero que no sea un inconveniente, ojalá sirva de gentil recordatorio de la importancia de seguir aprendiendo inglés. \ No newline at end of file +Muchas veces los videos serán en inglés, quizá con subtítulos. Aunque espero que no sea un inconveniente, ojalá sirva de gentil recordatorio de la importancia de seguir aprendiendo inglés.