From 825b1961508ff75f88b34f59635973d346f799d1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Zfr135 Date: Wed, 28 May 2025 22:07:23 -0600 Subject: [PATCH 1/2] =?UTF-8?q?Transcripci=C3=B3n=20completada=20del=20tem?= =?UTF-8?q?a=204.16.1=20en=20el=20archivo=204=5F16=5F1=5Frespuesta.md,=20n?= =?UTF-8?q?o=20logr=C3=A9=20indicar=20con=20\overline{}=20la=20l=C3=ADnea?= =?UTF-8?q?=20sobre=20las=20variables=20para=20indicar=20el=20valor=20medi?= =?UTF-8?q?o,=20en=20su=20lugar=20us=C3=A9=20\bar{}.?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- docs/4_16_1_respuesta.md | 131 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 127 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/docs/4_16_1_respuesta.md b/docs/4_16_1_respuesta.md index 7e79832..055334b 100644 --- a/docs/4_16_1_respuesta.md +++ b/docs/4_16_1_respuesta.md @@ -1,7 +1,130 @@ -### Presentación + +[ ### Presentación ]: # [16 - Respuesta de sistemas lineales a una señal aleatoria](https://www.overleaf.com/read/yfnrpxpcmvsz#5b73e6) -### Secciones -- Respuesta del sistema (1 - 2) -- Valor cuadrático medio (2 - 6) \ No newline at end of file +[ ### Secciones ]: # +[ - Respuesta del sistema (1 - 2) ]: # +[ - Valor cuadrático medio (2 - 6) ]: # + +[ C12770: No logré dejar la línea horizontal que se encuentra sobre las variables que representan valores medios con \overline{}, usé \bar{} pero no quedó la misma línea. ]: # + +# Respuesta del sistema y valor cuadrático medio + +!!! abstract "Introducción" + En la interacción de señales y sistemas donde hay entradas aleatorias, es posible determinar cantidades útiles para el análisis, como la señal misma o la potencia de salida, conociendo las características determinísticas del sistema y características estadísticas de la entrada. + +[ # Respuesta del sistema ]: # + +## Respuesta del sistema: convolución + +Con $x(t)$ una señal aleatoria, la respuesta de cualquier red eléctrica, denotada por $y(t)$, está dada por la integral de convolución + +\begin{equation} +\begin{aligned} + y(t) & = \int_{-\infty}^{\infty} x(\xi) h(t - \xi) \, ~\mathrm{d} \xi \\ + & = \int_{-\infty}^{\infty} h(\xi) x(t - \xi) \, ~\mathrm{d} \xi \\ + & = x(t) * h(t) +\end{aligned} +\end{equation} + +donde $h(t)$ es la respuesta al impulso de la red. Se está suponiendo un sistema lineal e invariante con el tiempo (LIT). + +![Diagrama del sistema lineal e invariante con el tiempo](images/16_sistema_LIT.svg) + +La ecuación anterior es una operación sobre un miembro $x(t)$ del agregado del proceso estocástico $X(t)$ que produce un miembro del agregado de un nuevo proceso $Y(t)$. En general, para todo el proceso estocástico, + +\begin{equation} +\begin{aligned} + Y(t) & = \int_{-\infty}^{\infty} h(\xi) X(t - \xi) \, ~\mathrm{d} \xi \\ + & = X(t) * H(t) +\end{aligned} +\end{equation} + +[ ## Valor medio y cuadrático medio de la respuesta del sistema ]: # + +## Valor medio de la respuesta del sistema + +Si $X(t)$ es estacionario en sentido amplio (WSS), entonces + +\begin{equation} +\begin{aligned} + E[Y(t)] & = E\left[ \int_{-\infty}^{\infty} h(\xi) X(t - \xi) \, ~\mathrm{d} \xi \right] = \int_{-\infty}^{\infty} h(\xi) E[X(t - \xi)] \, ~\mathrm{d} \xi \\ + & = \bar{X} \int_{-\infty}^{\infty} h(\xi) \, ~\mathrm{d} \xi = \bar{Y} \quad \text{(constante)} +\end{aligned} +\end{equation} + + +Entonces el valor medio de $Y(t)$ iguala al valor medio de $X(t)$ multiplicado por el área bajo la curva de la respuesta al impulso. + +## Nota al margen: Relación entre la integración y el valor esperado + +Las operaciones de integración y de esperanza matemática son intercambiables, de modo que, para + +\begin{equation} +\int_{t_{1}}^{t_{2}} E[|W(t)|] |h(t)| \, ~\mathrm{d} t < \infty +\end{equation} + +donde $t_{1}$, $t_{2}$ son constantes reales que pueden ser infinitas, aplica que + +\begin{equation} +E\left[ \int_{t_{1}}^{t_{2}} W(t) h(t) \, ~\mathrm{d} t \right] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} E[W(t)] h(t) \, ~\mathrm{d} t +\end{equation} + +donde $W(t)$ es alguna función acotada de un proceso aleatorio (sobre el intervalo $[t_{1}, t_{2}]$) y $h(t)$ es una función del tiempo, no aleatoria. + +## Valor cuadrático medio de la respuesta del sistema + +Para el valor cuadrático medio de $Y(t)$, se calcula + +\begin{equation} +\begin{aligned} + E[Y^2(t)] & = E\left[ \int_{-\infty}^{\infty} h(\xi_{1}) X(t - \xi_{1}) \, ~\mathrm{d} \xi_{1} \int_{-\infty}^{\infty} h(\xi_{2}) X(t - \xi_{2}) \, ~\mathrm{d} \xi_{2} \right] \\ + & = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} E[X(t - \xi_{1}) X(t - \xi_{2})] h(\xi_{1}) h(\xi_{2}) \, ~\mathrm{d} \xi_{1} \, ~\mathrm{d} \xi_{2} +\end{aligned} +\end{equation} + +Si se supone que la entrada es estacionaria en sentido amplio: + +\begin{equation} +E[X(t - \xi_{1}) X(t - \xi_{2})] = R_{XX}(\xi_{1} - \xi_{2}) +\end{equation} + +con lo que la ecuación se vuelve independiente de $t$: + +\begin{equation} +\begin{aligned} + \bar{Y^2} & = E[Y^2(t)] \\ + & = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} R_{XX}(\xi_{1} - \xi_{2}) h(\xi_{1}) h(\xi_{2}) \, ~\mathrm{d} \xi_{1} \, ~\mathrm{d} \xi_{2} +\end{aligned} +\end{equation} + +--- + +:material-pencil-box: **EJEMPLO** + +!!! example "Sistema con entrada de ruido blanco" + Se encontrará $\bar{Y^2}$ para un sistema con ruido blanco gaussiano en su entrada. + +Aquí: + +\begin{equation} +R_{XX}(\xi_{1} - \xi_{2}) = (\mathcal{N}_0 / 2) \delta(\xi_{1} - \xi_{2}) +\end{equation} + +donde $\mathcal{N}_0$ es una constante real positiva. Luego, + +\begin{equation} +\bar{Y^2} = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (\mathcal{N}_0 / 2) \delta(\xi_{1} - \xi_{2}) h(\xi_{1}) ~\mathrm{d} \xi_{1} h(\xi_{2}) ~\mathrm{d} \xi_{2} +\end{equation} + +!!! note "" + Se concluye que: + + \begin{equation} + \bar{Y^2} = (\mathcal{N}_0 / 2) \int_{-\infty}^{\infty} h^2(\xi_{2}) \, ~\mathrm{d} \xi_{2} + \end{equation} + + La potencia de salida se vuelve proporcional al área bajo el cuadrado de la curva de $h(t)$, en este ejemplo. + +--- \ No newline at end of file From 8d2a6370aa52529a80b72ca0803750f5824a7418 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Zfr135 <147358743+Zfr135@users.noreply.github.com> Date: Wed, 11 Jun 2025 16:52:52 -0600 Subject: [PATCH 2/2] Update 4_16_1_respuesta.md MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Eliminado el link a la presentación en LaTeX al inicio. --- docs/4_16_1_respuesta.md | 6 ++---- 1 file changed, 2 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/docs/4_16_1_respuesta.md b/docs/4_16_1_respuesta.md index 055334b..1bceab1 100644 --- a/docs/4_16_1_respuesta.md +++ b/docs/4_16_1_respuesta.md @@ -1,7 +1,5 @@ -[ ### Presentación ]: # - -[16 - Respuesta de sistemas lineales a una señal aleatoria](https://www.overleaf.com/read/yfnrpxpcmvsz#5b73e6) +[ ### Presentación 16 - Respuesta de sistemas lineales a una señal aleatoria]: # [ ### Secciones ]: # [ - Respuesta del sistema (1 - 2) ]: # @@ -127,4 +125,4 @@ donde $\mathcal{N}_0$ es una constante real positiva. Luego, La potencia de salida se vuelve proporcional al área bajo el cuadrado de la curva de $h(t)$, en este ejemplo. ---- \ No newline at end of file +---