+ Simulación de la potencia en un resistor +
+ + +import numpy as np + +from scipy import stats + +# Inicialización de vectores + +N = 500 + +Irvs = [0]*N + +P = [0]*N + +# Distribución de la corriente + +I = stats.uniform(1, 2) + +# Simulación + +for i in range (N): + + Irvs[i] = I.rvs() + + P[i] = Irvs[i]**2 + + + + + + + + +--- + +:material-pencil-box: **Ejemplo de distribución uniforme y transformaciones de una variable aleatoria** + +!!! example "Distribución uniforme y transformaciones de una variable aleatoria" + + Sea \( X \sim \mathsf{unif}(0,1) \) (es decir, \( f_X(x) = 1 \) en \(0 \leq x \leq 1\)). + Se define una nueva variable \( Y = 2\sqrt{X} \). Encuentre \( f_Y(y) \). + + La función \( g(X) = 2\sqrt{X} \) es monótona en \([0, 1]\) y tiene una inversa \( h(y) = \frac{y^2}{4} \). + + Se aplica el teorema: + + $$ + \begin{aligned} + f_Y(y) & = f_X(h(y)) \left| h'(y) \right| = (1) \left| \frac{d}{dy} \frac{y^2}{4} \right| \\ + & = \frac{2y}{4} \\ + \boxed{ + f_Y(y) = \frac{y}{2} \quad \text{en} \quad y \in [0, 2] + } + \end{aligned} + $$ + +--- + + +--- + +:material-pencil-box: **Otro ejemplo de la disipación de potencia en un resistor** + +!!! example "Otro ejemplo de la disipación de potencia en un resistor" + + La variación en cierta fuente de corriente eléctrica \( X \) (en miliamperios) puede ser modelada por el PDF + + $$ + f_X(x) = + \begin{cases} + 1.25 - 0.25 x & 2 \leq x \leq 4 \\ + 0 & \text{en otros casos} + \end{cases} + $$ + + Si esta corriente pasa por un resistor de \(220\, \Omega\), la potencia disipada es dada por la expresión \( Y = 220 X^2 \). + ¿Cuál es la función de densidad de \( Y \)? + + La función \( y = g(x) = 220 x^2 \) es monótonamente creciente en el rango de \( X \), \([2,4]\), y tiene función inversa + \( x = h(y) = g^{-1}(y) = \sqrt{\frac{y}{220}} \). + + Aplicando el teorema de transformación, entonces, + + $$ + \begin{aligned} + f_Y(y) & = f_X(h(y)) \left| h'(y) \right| \\ + & = f_X \left( \sqrt{\frac{y}{220}} \right) \left| \frac{d}{dy} \sqrt{\frac{y}{220}} \right| \\ + & = \left(1.25 - 0.25 \sqrt{\frac{y}{220}} \right) \frac{1}{2\sqrt{220 y}} \\ + & = \frac{1}{2\sqrt{220 y}} - \frac{1}{1760} + \end{aligned} + $$ + + Y por tanto, + + $$ + \boxed{ + f_Y(y) = + \begin{cases} + \frac{1}{2\sqrt{220 y}} - \frac{1}{1760} & 880 \leq y \leq 3520 \\ + 0 & \text{en otra parte} + \end{cases} + } + $$ + +  + + +--- + + +--- + +:material-pencil-box: **Ejemplo Transformación de variable aleatoria \( T \)** + +!!! example "Transformación de variable aleatoria \( T \)" + + Hay una variable aleatoria \( T \) distribuida uniformemente en el intervalo \([1,7]\). Sobre ella se aplica una transformación + + $$ + U = T^{2} - T - 6 + $$ + + 1. Encontrar \( f_{U}(u) \), la función de densidad probabilística de la variable aleatoria \( U \). + 2. Calcular \( P\{-4 < U \leq 14\} \). + + **Parte 1**: Encontrar \( f_{U}(u) \), la función de densidad probabilística de la variable aleatoria \( U \). + + La variable aleatoria \( T \) dada es + + $$ + f_T(t) = + \begin{cases} + \frac{1}{6} & 1 \leq t \leq 7 \\ + 0 & \text{en otra parte} + \end{cases} + $$ + + La transformación \( U = g(T) \) es monótonamente creciente en el intervalo \([1,7]\), por tanto es posible utilizar la fórmula + + $$ + f_U(u) = f_T(h(u)) \left| \frac{d}{du} h(u) \right| + $$ + + donde \( h(u) \) es la función inversa. + + Se obtiene \( h(u) \) de la forma + + $$ + \begin{aligned} + u &= t^2 - t - 6 \\ + 0 &= t^2 - t - (u + 6) \\ + t &= \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-u - 6)}}{2} \quad \text{(fórmula general)} \\ + &= \frac{1 \pm \sqrt{4u + 25}}{2} + \end{aligned} + $$ + + Se elige la solución positiva, y queda + + $$ + h(u) = \frac{1 + \sqrt{4u + 25}}{2} + $$ + + Ahora, para derivar la función inversa, se utiliza regla de la cadena + + $$ + \begin{aligned} + \frac{d}{du} h(u) &= \frac{d}{du} \left[ \frac{1 + \sqrt{4u + 25}}{2} \right] \\ + &= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{2\sqrt{4u + 25}} = \frac{1}{\sqrt{4u + 25}} + \end{aligned} + $$ + + Y entonces, se evalúa + + $$ + f_U(u) = f_T(h(u)) \left| \frac{d}{du} h(u) \right| = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{4u + 25}} + $$ + + Evaluando también los límites de \( T \) en la transformación \( g(T) \), la función de densidad buscada es + + $$ + \boxed{ + f_U(u) = + \begin{cases} + \frac{1}{6 \sqrt{4u + 25}} & -6 \leq u \leq 36 \\ + 0 & \text{en otra parte} + \end{cases} + } + $$ + + + **Parte 2**: Calcular \( P\{-4 < U \leq 14\} \) + + La probabilidad \( P\{-4 < U \leq 14\} \) requiere la integración de \( f_U(u) \) en ese intervalo. Esta + integral puede ser más o menos difícil de evaluar, pero es posible calcularla + numéricamente con las calculadoras científicas comunes, resultando + + $$ + P\{-4 < U \leq 14\} = \int_{-4}^{14} \frac{1}{6 \sqrt{4u + 25}} \, du = \boxed{0.5} + $$ + + En todo caso, la integral (a partir de una tabla de integrales) es + + $$ + \int \frac{1}{6 \sqrt{4u + 25}} \, du = \frac{1}{12} \sqrt{4u + 25} + $$ + + y la evaluación en \([-4, 14]\) da en efecto igual a 0.5. + +--- diff --git a/docs/images/8_disipacion_constante.png b/docs/images/8_disipacion_constante.png new file mode 100644 index 0000000..499bb5f Binary files /dev/null and b/docs/images/8_disipacion_constante.png differ diff --git a/docs/images/8_disipacion_lineal.png b/docs/images/8_disipacion_lineal.png new file mode 100644 index 0000000..0b94f81 Binary files /dev/null and b/docs/images/8_disipacion_lineal.png differ