From fc4ec01fb06a2600350ea6926a0bdd5497ae5955 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: ChristianAltamiranda Date: Mon, 26 May 2025 10:40:07 -0600 Subject: [PATCH 1/2] =?UTF-8?q?Transcripciones=20Christian=20Altamiranda,?= =?UTF-8?q?=20se=20a=C3=B1adieron=202=20imagenes=20que=20no=20estaban=20en?= =?UTF-8?q?=20la=20carpeta=20\images?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- docs/2_8_1_disipacion_potencia.md | 269 +++++++++++++++++++++++++++++- docs/image-1.png | Bin 0 -> 28149 bytes docs/image.png | Bin 0 -> 17415 bytes 3 files changed, 264 insertions(+), 5 deletions(-) create mode 100644 docs/image-1.png create mode 100644 docs/image.png diff --git a/docs/2_8_1_disipacion_potencia.md b/docs/2_8_1_disipacion_potencia.md index 97735d1..c025e29 100644 --- a/docs/2_8_1_disipacion_potencia.md +++ b/docs/2_8_1_disipacion_potencia.md @@ -1,7 +1,266 @@ -### Presentación +

+ Ejemplo de la disipación de potencia en un resistor +

-[8 - Transformaciones de una variable aleatoria](https://www.overleaf.com/read/ndsxqhnskwzg#a6c0a8) -### Secciones -- Ejemplos de disipación de potencia (14 - 23) -- Ejemplo de una variable aleatoria, TI, TII y TIII (24 - 28) \ No newline at end of file + +Sea $I$ una VA que denota la corriente en un resistor $R$ de valor 1 $\Omega$. $I$ tiene una distribución uniforme en el intervalo de 1 a 3 A, es decir: + +\[ +f_I(i) = +\begin{cases} +\frac{1}{2} & 1 < i < 3 \\ +0 & \text{en otra parte} +\end{cases} +\] + +¿Cuál es el promedio de la corriente \( I \)?¿Cuál es el promedio de la potencia disipada en \( R \), \( P = g(I) = I^2 R \)? + +Primero se hará el cálculo mediante $E[g(I)]$ y luego a través de la nueva función de densidad $f_P(p)$. + +\[ +\begin{aligned} +E[I] & = \int_{-\infty}^{\infty}i~f_{I}(i) \mathrm{d}i \\ + & = \int_{1}^{3}i~\frac{1}{2} \mathrm{d}i \\ + & = 2\,\text{A} +\end{aligned} +\] + +![Descripción alternativa](./images/8_prom_corriente.svg) + +\[ +\begin{aligned} +E[P] & = \int_{-\infty}^{\infty}g(i)~f_{I}(i) \mathrm{d}i \\ + & = \int_{1}^{3}i^2 (1)~\frac{1}{2} \mathrm{d}i \\ + & = 13/3 \approx \boxed{4.33\,\text{W}} +\end{aligned} +\] + +![Descripción alternativa](./images/8_prom_potencia.svg) + +Es posible obtener $E[P]$ desde $f_P(p)$ por medio de la transformación $g(I) = P = I^2 R$, con $h(P) = I = \sqrt{P/R}$, y con los límites $1 < i < 3$ y $1 < p < 9$. Aplicando el teorema: + + +\[ +\begin{aligned} +f_P(p) & = f_I\left[ h(p) \right] \left\vert h'(p) \right\vert \\ + & = f_I\left[ \sqrt{p/R} \right] \left\vert (p/R)^{-1/2}/2 \right\vert \\ +\boxed{f_P(p) = \frac{1}{4 \sqrt{p}} \quad\text{para}\quad 1 < p < 9} +\end{aligned} +\] + + +Y su promedio es: + +\[ +\begin{aligned} +E[P] & = \int_{-\infty}^{\infty} p ~ f_P(p) \mathrm{d}p = \int_{1}^{9} p ~ \frac{1}{4 \sqrt{p}} \mathrm{d}p = \frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{p} \mathrm{d}p \\ +& = \frac{1}{4} \left. \frac{2 p^{3/2}}{3} \right\vert_{1}^{9} = \frac{13}{3} \approx \boxed{4.33\,\text{W}} +\end{aligned} +\] + +![alt text](image.png) + +

+ Simulación de la potencia en un resistor +

+ + +import numpy as np + +from scipy import stats + +# Inicialización de vectores + +N = 500 + +Irvs = [0]*N + +P = [0]*N + +# Distribución de la corriente + +I = stats.uniform(1, 2) + +# Simulación + +for i in range (N): + + Irvs[i] = I.rvs() + + P[i] = Irvs[i]**2 + + + +![Descripción alternativa](./images/8_sim_corriente.svg) + +![Descripción alternativa](./images/8_sim_potencia.svg) + + +

+ Ejemplo de la distribución uniforme +

+

+ Transformaciones de una variable aleatoria +

+ +Sea \( X \sim \mathsf{unif}(0,1) \)(es decir, \( f_X(x) = 1 \) en \(0 \leq x \leq 1\)). Se define una nueva variable \( Y = 2\sqrt{X} \). Encuentre \( f_Y(y) \). + +La función \( g(X) = 2\sqrt{X} \) es monótona en \([0, 1]\) y tiene una inversa \( h(y) = \frac{y^2}{4} \). + +Se aplica el teorema: + +\[ +\begin{aligned} +f_Y(y) & = f_X(h(y)) \left| h'(y) \right| = (1) \left| \frac{d}{dy} \frac{y^2}{4} \right| \\ + & = \frac{2y}{4} \\ +\boxed{ +f_Y(y) = \frac{y}{2} \quad \text{en} \quad y \in [0, 2] +} +\end{aligned} +\] + +--- + +

+ Otro ejemplo de la disipación de potencia en un resistor +

+ +La variación en cierta fuente de corriente eléctrica \( X \) (en miliamperios) puede ser modelada por el PDF + +\[ +f_X(x) = +\begin{cases} +1.25 - 0.25 x & 2 \leq x \leq 4 \\ +0 & \text{en otros casos} +\end{cases} +\] + +Si esta corriente pasa por un resistor de \(220\, \Omega\), la potencia disipada es dada por la expresión \( Y = 220 X^2 \). ¿Cuál es la función de densidad de \( Y \)? + +La función \( y = g(x) = 220 x^2 \) es monótonamente creciente en el rango de \( X \), \([2,4]\), y tiene función inversa \( x = h(y) = g^{-1}(y) = \sqrt{\frac{y}{220}} \). + +Aplicando el teorema de transformación, entonces, + +\[ +\begin{aligned} +f_Y(y) & = f_X(h(y)) \left| h'(y) \right| \\ + & = f_X \left( \sqrt{\frac{y}{220}} \right) \left| \frac{d}{dy} \sqrt{\frac{y}{220}} \right| \\ + & = \left(1.25 - 0.25 \sqrt{\frac{y}{220}} \right) \frac{1}{2\sqrt{220 y}} \\ + & = \frac{1}{2\sqrt{220 y}} - \frac{1}{1760} +\end{aligned} +\] + +Y por tanto, + +\[ +\boxed{ +f_Y(y) = +\begin{cases} +\frac{1}{2\sqrt{220 y}} - \frac{1}{1760} & 880 \leq y \leq 3520 \\ +0 & \text{en otra parte} +\end{cases} +} +\] + +![alt text](image-1.png) + +

+ Ejemplo de una variable aleatoria T +

+ + + +Hay una variable aleatoria \( T \) distribuida uniformemente en el intervalo \([1,7]\). Sobre ella se aplica una transformación + +\[ +U = T^{2} - T - 6 +\] + +1. Encontrar \( f_{U}(u) \), la función de densidad probabilística de la variable aleatoria \( U \). +2. Calcular \( P\{-4 < U \leq 14\} \). + + +**Parte 1**: Encontrar \( f_{U}(u) \), la función de densidad probabilística de la variable aleatoria \( U \). + +La variable aleatoria \( T \) dada es + +\[ +f_T(t) = +\begin{cases} +\frac{1}{6} & 1 \leq t \leq 7 \\ +0 & \text{en otra parte} +\end{cases} +\] + +La transformación \( U = g(T) \) es monótonamente creciente en el intervalo \([1,7]\), por tanto es posible utilizar la fórmula + +\[ +f_U(u) = f_T(h(u)) \left| \frac{d}{du} h(u) \right| +\] + +donde \( h(u) \) es la función inversa. + +Se obtiene \( h(u) \) de la forma + +\[ +\begin{aligned} +u &= t^2 - t - 6 \\ +0 &= t^2 - t - (u + 6) \\ +t &= \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-u - 6)}}{2} \quad \text{(fórmula general)} \\ + &= \frac{1 \pm \sqrt{4u + 25}}{2} +\end{aligned} +\] + +Se elige la solución positiva, y queda + +\[ +h(u) = \frac{1 + \sqrt{4u + 25}}{2} +\] + +Ahora, para derivar la función inversa, se utiliza regla de la cadena + +\[ +\begin{aligned} +\frac{d}{du} h(u) &= \frac{d}{du} \left[ \frac{1 + \sqrt{4u + 25}}{2} \right] \\ +&= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{2\sqrt{4u + 25}} = \frac{1}{\sqrt{4u + 25}} +\end{aligned} +\] + +Y entonces, se evalúa + + +\[ +f_U(u) = f_T(h(u)) \left| \frac{d}{du} h(u) \right| = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{4u + 25}} +\] + +Evaluando también los límites de \( T \) en la transformación \( g(T) \), la función de densidad buscada es + +\[ +\boxed{ +f_U(u) = +\begin{cases} +\frac{1}{6 \sqrt{4u + 25}} & -6 \leq u \leq 36 \\ +0 & \text{en otra parte} +\end{cases} +} +\] + + +**Parte 2**: Calcular \( P\{-4 < U \leq 14\} \) + +La probabilidad \( P\{-4 < U \leq 14\} \) requiere la integración de \( f_U(u) \) en ese intervalo. Esta +integral puede ser más o menos difícil de evaluar, pero es posible calcularla +numéricamente con las calculadoras científicas comunes, resultando + +\[ +P\{-4 < U \leq 14\} = \int_{-4}^{14} \frac{1}{6 \sqrt{4u + 25}} \, du = \boxed{0.5} +\] + +En todo caso, la integral (a partir de una tabla de integrales) es + +\[ +\int \frac{1}{6 \sqrt{4u + 25}} \, du = \frac{1}{12} \sqrt{4u + 25} +\] + +y la evaluación en [−4, 14] da en efecto igual a 0,5. diff --git a/docs/image-1.png b/docs/image-1.png new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0b94f814936e69fad6ee94d3f3ee317baebbb603 GIT binary patch literal 28149 zcmb@uWmuG5`!_mLK7#0dO9=v^Fd&T#jf4q9%g~)egS0e=7&Jo;sW5=F3?;21QbTvE z2uLe1AidWxJpcW^@7^EwhwXufIIL@}bDbT(i`N=z3e=QLln@An8m{<269OT#gFw!$ z|Azv6!iRqB2>va;b&z_gtIH zJ1YppDIEUbuGUkNwP_#!NqorSNsT|e$67MkI(p(CHVR6eTmL}&UQdpz;Z|`Ej@DMc zpr`fkE#AJ2Ta^uT4bpA#u;I#BO7I9$aqtS_U#EZ7(w{OwpPw5w7%IV%B0&nJ%zaJ5 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z8KcWrXc;xrM5xPp34c3m2_SK1zQVzso`tiXWvstOQoq~&$uMe4_fb*Qw((n0(|vbC zqrOFvqn#<_E3Zo5o|hAby`d_=W#+Y-{;3zRB;(_D6|M%z@*F5zQ&r~xOk;l1DRVyXu zZlxY$qHx{Cb4)uYxVLzv*9;z$FoH2CTvQ<;x z{=!~jZ|YHg`B)#8_#@OJ@b~tF)qu;{hb~4IpMf3N;7RzKEBUjYdlJAQthT`5(WqjW z!FJ(qIk^sj_k$ydne0sIY&9g3#Uw+(w@Hju?v!;jvUv^StQc1y&}& rC)KUbZ_fgUwg3ME4gb4x=sCMG`)zaUU*r0ybBRKfwI9_eT0j3UUNZ;8 literal 0 HcmV?d00001 From 25896f31a302ae4113eb64aef8a62dad59a9aae2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: ChristianAltamiranda Date: Thu, 19 Jun 2025 16:18:56 -0600 Subject: [PATCH 2/2] Cambios sugeridos por el asistente --- docs/2_8_1_disipacion_potencia.md | 358 ++++++++++-------- .../8_disipacion_constante.png} | Bin .../8_disipacion_lineal.png} | Bin 3 files changed, 193 insertions(+), 165 deletions(-) rename docs/{image.png => images/8_disipacion_constante.png} (100%) rename docs/{image-1.png => images/8_disipacion_lineal.png} (100%) diff --git a/docs/2_8_1_disipacion_potencia.md b/docs/2_8_1_disipacion_potencia.md index c025e29..7af96ab 100644 --- a/docs/2_8_1_disipacion_potencia.md +++ b/docs/2_8_1_disipacion_potencia.md @@ -1,65 +1,84 @@ -

- Ejemplo de la disipación de potencia en un resistor -

+--- + +:material-pencil-box: **Ejemplo de disipación de potencia en un resistor** + +!!! example "Disipación de potencia en un resistor" + + Sea \( I \) una variable aleatoria que denota la corriente en un resistor \( R \) de valor \(1~\Omega\). + \( I \) tiene una distribución uniforme en el intervalo de 1 a 3 A, es decir: + + $$ + f_I(i) = + \begin{cases} + \frac{1}{2} & 1 < i < 3 \\ + 0 & \text{en otra parte} + \end{cases} + $$ + ¿Cuál es el promedio de la corriente \( I \)? + ¿Cuál es el promedio de la potencia disipada en \( R \), con \( P = g(I) = I^2 R \)? + --- + Primero se hará el cálculo mediante E[g(I)] (como se hizo en una presentación anterior) y luego a través de la nueva función de densidad fP (p). -Sea $I$ una VA que denota la corriente en un resistor $R$ de valor 1 $\Omega$. $I$ tiene una distribución uniforme en el intervalo de 1 a 3 A, es decir: + $$ + \begin{aligned} + E[I] & = \int_{-\infty}^{\infty} i \cdot f_{I}(i) \, \mathrm{d}i \\ + & = \int_{1}^{3} i \cdot \frac{1}{2} \, \mathrm{d}i \\ + & = 2\,\text{A} + \end{aligned} + $$ -\[ -f_I(i) = -\begin{cases} -\frac{1}{2} & 1 < i < 3 \\ -0 & \text{en otra parte} -\end{cases} -\] + ![Promedio de corriente](./images/8_prom_corriente.svg) -¿Cuál es el promedio de la corriente \( I \)?¿Cuál es el promedio de la potencia disipada en \( R \), \( P = g(I) = I^2 R \)? + --- + + + $$ + \begin{aligned} + E[P] & = \int_{1}^{3} i^2 \cdot \frac{1}{2} \, \mathrm{d}i \\ + & = \frac{13}{3} \approx \boxed{4.33\,\text{W}} + \end{aligned} + $$ -Primero se hará el cálculo mediante $E[g(I)]$ y luego a través de la nueva función de densidad $f_P(p)$. + ![Promedio de potencia](./images/8_prom_potencia.svg) -\[ -\begin{aligned} -E[I] & = \int_{-\infty}^{\infty}i~f_{I}(i) \mathrm{d}i \\ - & = \int_{1}^{3}i~\frac{1}{2} \mathrm{d}i \\ - & = 2\,\text{A} -\end{aligned} -\] + --- + Es posible obtener \( E[P] \) desde \( f_P(p) \) por medio de la transformación \( g(I) = P = I^2 R \), con -![Descripción alternativa](./images/8_prom_corriente.svg) + \[ + h(P) = I = \sqrt{\frac{P}{R}}, + \] -\[ -\begin{aligned} -E[P] & = \int_{-\infty}^{\infty}g(i)~f_{I}(i) \mathrm{d}i \\ - & = \int_{1}^{3}i^2 (1)~\frac{1}{2} \mathrm{d}i \\ - & = 13/3 \approx \boxed{4.33\,\text{W}} -\end{aligned} -\] + y con los límites \(1 < i < 3\) y \(1 < p < 9\). Aplicando el teorema: -![Descripción alternativa](./images/8_prom_potencia.svg) + \[ + f_P(p) = f_I \bigl[ h(p) \bigr] \cdot \left| h'(p) \right| = f_I \left[ \sqrt{\frac{p}{R}} \right] \cdot \left| \frac{(p/R)^{-1/2}}{2} \right| + \] -Es posible obtener $E[P]$ desde $f_P(p)$ por medio de la transformación $g(I) = P = I^2 R$, con $h(P) = I = \sqrt{P/R}$, y con los límites $1 < i < 3$ y $1 < p < 9$. Aplicando el teorema: + + $$ + \begin{aligned} + f_P(p) & = f_I\left( \sqrt{p} \right) \cdot \left| \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p} \sqrt{p} \right|^{-1} \\ + & = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{1}{2 \sqrt{p}} \right| = \boxed{\frac{1}{4 \sqrt{p}} \quad \text{para } 1 < p < 9} + \end{aligned} + $$ -\[ -\begin{aligned} -f_P(p) & = f_I\left[ h(p) \right] \left\vert h'(p) \right\vert \\ - & = f_I\left[ \sqrt{p/R} \right] \left\vert (p/R)^{-1/2}/2 \right\vert \\ -\boxed{f_P(p) = \frac{1}{4 \sqrt{p}} \quad\text{para}\quad 1 < p < 9} -\end{aligned} -\] + --- + Y su promedio es: + $$ + \begin{aligned} + E[P] & = \int_{1}^{9} p \cdot \frac{1}{4 \sqrt{p}} \, \mathrm{d}p = \frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{p} \, \mathrm{d}p \\ + & = \frac{1}{4} \cdot \left. \frac{2}{3} p^{3/2} \right|_1^9 + = \frac{13}{3} \approx \boxed{4.33\,\text{W}} + \end{aligned} + $$ -Y su promedio es: + ![Disipación lineal](./images/8_disipacion_constante.png) -\[ -\begin{aligned} -E[P] & = \int_{-\infty}^{\infty} p ~ f_P(p) \mathrm{d}p = \int_{1}^{9} p ~ \frac{1}{4 \sqrt{p}} \mathrm{d}p = \frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{p} \mathrm{d}p \\ -& = \frac{1}{4} \left. \frac{2 p^{3/2}}{3} \right\vert_{1}^{9} = \frac{13}{3} \approx \boxed{4.33\,\text{W}} -\end{aligned} -\] -![alt text](image.png)

Simulación de la potencia en un resistor @@ -97,170 +116,179 @@ I = stats.uniform(1, 2) ![Descripción alternativa](./images/8_sim_potencia.svg) -

- Ejemplo de la distribución uniforme -

-

- Transformaciones de una variable aleatoria -

+--- + +:material-pencil-box: **Ejemplo de distribución uniforme y transformaciones de una variable aleatoria** -Sea \( X \sim \mathsf{unif}(0,1) \)(es decir, \( f_X(x) = 1 \) en \(0 \leq x \leq 1\)). Se define una nueva variable \( Y = 2\sqrt{X} \). Encuentre \( f_Y(y) \). +!!! example "Distribución uniforme y transformaciones de una variable aleatoria" -La función \( g(X) = 2\sqrt{X} \) es monótona en \([0, 1]\) y tiene una inversa \( h(y) = \frac{y^2}{4} \). + Sea \( X \sim \mathsf{unif}(0,1) \) (es decir, \( f_X(x) = 1 \) en \(0 \leq x \leq 1\)). + Se define una nueva variable \( Y = 2\sqrt{X} \). Encuentre \( f_Y(y) \). -Se aplica el teorema: + La función \( g(X) = 2\sqrt{X} \) es monótona en \([0, 1]\) y tiene una inversa \( h(y) = \frac{y^2}{4} \). -\[ -\begin{aligned} -f_Y(y) & = f_X(h(y)) \left| h'(y) \right| = (1) \left| \frac{d}{dy} \frac{y^2}{4} \right| \\ - & = \frac{2y}{4} \\ -\boxed{ -f_Y(y) = \frac{y}{2} \quad \text{en} \quad y \in [0, 2] -} -\end{aligned} -\] + Se aplica el teorema: + + $$ + \begin{aligned} + f_Y(y) & = f_X(h(y)) \left| h'(y) \right| = (1) \left| \frac{d}{dy} \frac{y^2}{4} \right| \\ + & = \frac{2y}{4} \\ + \boxed{ + f_Y(y) = \frac{y}{2} \quad \text{en} \quad y \in [0, 2] + } + \end{aligned} + $$ --- + -

- Otro ejemplo de la disipación de potencia en un resistor -

+--- -La variación en cierta fuente de corriente eléctrica \( X \) (en miliamperios) puede ser modelada por el PDF +:material-pencil-box: **Otro ejemplo de la disipación de potencia en un resistor** -\[ -f_X(x) = -\begin{cases} -1.25 - 0.25 x & 2 \leq x \leq 4 \\ -0 & \text{en otros casos} -\end{cases} -\] +!!! example "Otro ejemplo de la disipación de potencia en un resistor" -Si esta corriente pasa por un resistor de \(220\, \Omega\), la potencia disipada es dada por la expresión \( Y = 220 X^2 \). ¿Cuál es la función de densidad de \( Y \)? + La variación en cierta fuente de corriente eléctrica \( X \) (en miliamperios) puede ser modelada por el PDF -La función \( y = g(x) = 220 x^2 \) es monótonamente creciente en el rango de \( X \), \([2,4]\), y tiene función inversa \( x = h(y) = g^{-1}(y) = \sqrt{\frac{y}{220}} \). + $$ + f_X(x) = + \begin{cases} + 1.25 - 0.25 x & 2 \leq x \leq 4 \\ + 0 & \text{en otros casos} + \end{cases} + $$ -Aplicando el teorema de transformación, entonces, + Si esta corriente pasa por un resistor de \(220\, \Omega\), la potencia disipada es dada por la expresión \( Y = 220 X^2 \). + ¿Cuál es la función de densidad de \( Y \)? -\[ -\begin{aligned} -f_Y(y) & = f_X(h(y)) \left| h'(y) \right| \\ - & = f_X \left( \sqrt{\frac{y}{220}} \right) \left| \frac{d}{dy} \sqrt{\frac{y}{220}} \right| \\ - & = \left(1.25 - 0.25 \sqrt{\frac{y}{220}} \right) \frac{1}{2\sqrt{220 y}} \\ - & = \frac{1}{2\sqrt{220 y}} - \frac{1}{1760} -\end{aligned} -\] + La función \( y = g(x) = 220 x^2 \) es monótonamente creciente en el rango de \( X \), \([2,4]\), y tiene función inversa + \( x = h(y) = g^{-1}(y) = \sqrt{\frac{y}{220}} \). -Y por tanto, + Aplicando el teorema de transformación, entonces, -\[ -\boxed{ -f_Y(y) = -\begin{cases} -\frac{1}{2\sqrt{220 y}} - \frac{1}{1760} & 880 \leq y \leq 3520 \\ -0 & \text{en otra parte} -\end{cases} -} -\] + $$ + \begin{aligned} + f_Y(y) & = f_X(h(y)) \left| h'(y) \right| \\ + & = f_X \left( \sqrt{\frac{y}{220}} \right) \left| \frac{d}{dy} \sqrt{\frac{y}{220}} \right| \\ + & = \left(1.25 - 0.25 \sqrt{\frac{y}{220}} \right) \frac{1}{2\sqrt{220 y}} \\ + & = \frac{1}{2\sqrt{220 y}} - \frac{1}{1760} + \end{aligned} + $$ -![alt text](image-1.png) + Y por tanto, -

- Ejemplo de una variable aleatoria T -

+ $$ + \boxed{ + f_Y(y) = + \begin{cases} + \frac{1}{2\sqrt{220 y}} - \frac{1}{1760} & 880 \leq y \leq 3520 \\ + 0 & \text{en otra parte} + \end{cases} + } + $$ + ![Disipación lineal](./images/8_disipacion_lineal.png) -Hay una variable aleatoria \( T \) distribuida uniformemente en el intervalo \([1,7]\). Sobre ella se aplica una transformación +--- + + +--- -\[ -U = T^{2} - T - 6 -\] +:material-pencil-box: **Ejemplo Transformación de variable aleatoria \( T \)** -1. Encontrar \( f_{U}(u) \), la función de densidad probabilística de la variable aleatoria \( U \). -2. Calcular \( P\{-4 < U \leq 14\} \). +!!! example "Transformación de variable aleatoria \( T \)" + Hay una variable aleatoria \( T \) distribuida uniformemente en el intervalo \([1,7]\). Sobre ella se aplica una transformación -**Parte 1**: Encontrar \( f_{U}(u) \), la función de densidad probabilística de la variable aleatoria \( U \). + $$ + U = T^{2} - T - 6 + $$ -La variable aleatoria \( T \) dada es + 1. Encontrar \( f_{U}(u) \), la función de densidad probabilística de la variable aleatoria \( U \). + 2. Calcular \( P\{-4 < U \leq 14\} \). -\[ -f_T(t) = -\begin{cases} -\frac{1}{6} & 1 \leq t \leq 7 \\ -0 & \text{en otra parte} -\end{cases} -\] + **Parte 1**: Encontrar \( f_{U}(u) \), la función de densidad probabilística de la variable aleatoria \( U \). -La transformación \( U = g(T) \) es monótonamente creciente en el intervalo \([1,7]\), por tanto es posible utilizar la fórmula + La variable aleatoria \( T \) dada es -\[ -f_U(u) = f_T(h(u)) \left| \frac{d}{du} h(u) \right| -\] + $$ + f_T(t) = + \begin{cases} + \frac{1}{6} & 1 \leq t \leq 7 \\ + 0 & \text{en otra parte} + \end{cases} + $$ -donde \( h(u) \) es la función inversa. + La transformación \( U = g(T) \) es monótonamente creciente en el intervalo \([1,7]\), por tanto es posible utilizar la fórmula -Se obtiene \( h(u) \) de la forma + $$ + f_U(u) = f_T(h(u)) \left| \frac{d}{du} h(u) \right| + $$ -\[ -\begin{aligned} -u &= t^2 - t - 6 \\ -0 &= t^2 - t - (u + 6) \\ -t &= \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-u - 6)}}{2} \quad \text{(fórmula general)} \\ - &= \frac{1 \pm \sqrt{4u + 25}}{2} -\end{aligned} -\] + donde \( h(u) \) es la función inversa. -Se elige la solución positiva, y queda + Se obtiene \( h(u) \) de la forma -\[ -h(u) = \frac{1 + \sqrt{4u + 25}}{2} -\] + $$ + \begin{aligned} + u &= t^2 - t - 6 \\ + 0 &= t^2 - t - (u + 6) \\ + t &= \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-u - 6)}}{2} \quad \text{(fórmula general)} \\ + &= \frac{1 \pm \sqrt{4u + 25}}{2} + \end{aligned} + $$ -Ahora, para derivar la función inversa, se utiliza regla de la cadena + Se elige la solución positiva, y queda -\[ -\begin{aligned} -\frac{d}{du} h(u) &= \frac{d}{du} \left[ \frac{1 + \sqrt{4u + 25}}{2} \right] \\ -&= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{2\sqrt{4u + 25}} = \frac{1}{\sqrt{4u + 25}} -\end{aligned} -\] + $$ + h(u) = \frac{1 + \sqrt{4u + 25}}{2} + $$ -Y entonces, se evalúa + Ahora, para derivar la función inversa, se utiliza regla de la cadena + $$ + \begin{aligned} + \frac{d}{du} h(u) &= \frac{d}{du} \left[ \frac{1 + \sqrt{4u + 25}}{2} \right] \\ + &= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{2\sqrt{4u + 25}} = \frac{1}{\sqrt{4u + 25}} + \end{aligned} + $$ -\[ -f_U(u) = f_T(h(u)) \left| \frac{d}{du} h(u) \right| = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{4u + 25}} -\] + Y entonces, se evalúa -Evaluando también los límites de \( T \) en la transformación \( g(T) \), la función de densidad buscada es + $$ + f_U(u) = f_T(h(u)) \left| \frac{d}{du} h(u) \right| = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{4u + 25}} + $$ -\[ -\boxed{ -f_U(u) = -\begin{cases} -\frac{1}{6 \sqrt{4u + 25}} & -6 \leq u \leq 36 \\ -0 & \text{en otra parte} -\end{cases} -} -\] + Evaluando también los límites de \( T \) en la transformación \( g(T) \), la función de densidad buscada es + $$ + \boxed{ + f_U(u) = + \begin{cases} + \frac{1}{6 \sqrt{4u + 25}} & -6 \leq u \leq 36 \\ + 0 & \text{en otra parte} + \end{cases} + } + $$ -**Parte 2**: Calcular \( P\{-4 < U \leq 14\} \) -La probabilidad \( P\{-4 < U \leq 14\} \) requiere la integración de \( f_U(u) \) en ese intervalo. Esta -integral puede ser más o menos difícil de evaluar, pero es posible calcularla -numéricamente con las calculadoras científicas comunes, resultando + **Parte 2**: Calcular \( P\{-4 < U \leq 14\} \) -\[ -P\{-4 < U \leq 14\} = \int_{-4}^{14} \frac{1}{6 \sqrt{4u + 25}} \, du = \boxed{0.5} -\] + La probabilidad \( P\{-4 < U \leq 14\} \) requiere la integración de \( f_U(u) \) en ese intervalo. Esta + integral puede ser más o menos difícil de evaluar, pero es posible calcularla + numéricamente con las calculadoras científicas comunes, resultando -En todo caso, la integral (a partir de una tabla de integrales) es + $$ + P\{-4 < U \leq 14\} = \int_{-4}^{14} \frac{1}{6 \sqrt{4u + 25}} \, du = \boxed{0.5} + $$ -\[ -\int \frac{1}{6 \sqrt{4u + 25}} \, du = \frac{1}{12} \sqrt{4u + 25} -\] + En todo caso, la integral (a partir de una tabla de integrales) es -y la evaluación en [−4, 14] da en efecto igual a 0,5. + $$ + \int \frac{1}{6 \sqrt{4u + 25}} \, du = \frac{1}{12} \sqrt{4u + 25} + $$ + + y la evaluación en \([-4, 14]\) da en efecto igual a 0.5. + +--- diff --git a/docs/image.png b/docs/images/8_disipacion_constante.png similarity index 100% rename from docs/image.png rename to docs/images/8_disipacion_constante.png diff --git a/docs/image-1.png b/docs/images/8_disipacion_lineal.png similarity index 100% rename from docs/image-1.png rename to docs/images/8_disipacion_lineal.png