Se agrega transcipción de André Madrigal Chaves, C14361

docs/2_7_3_ejemplos_de_determinacion.md

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-### Presentación
 
-[7 - Funciones que dan momentos](https://www.overleaf.com/read/cgwskrxfpkps#713512)
+# Ejemplo de determinación de la función característica 
 
-### Secciones
-- Ejemplo de determinación de la función característica I-VII (18 - 24)
+
+:material-pencil-box: **EJEMPLO**
+
+!!! example "Ejemplo de determinación de la función característica"
+
+    Se define una variable aleatoria discreta $Y$ con la función de densidad probabilística:
+
+    $$
+    \begin{aligned}
+      f_{Y}(y) =\ & P\{ X \leq x_{1} \}\delta(y-1) \\
+                 & + P\{ x_{1} < X \leq x_{2} \} \delta(y-2) \\
+                 & + P\{ x_{2} < X \leq x_{3} \}\delta(y-3) \\
+                 & + P\{ x_{3} < X < \infty \}\delta(y-4)    
+    \end{aligned}
+    $$
+
+    donde $X$ es una variable aleatoria gaussiana de media 50 y desviación estándar $\sigma = 10$, con $x_{1} = 25$, $x_{2} = 40$ y $x_{3} = 60$.
+
+    Se solicita:
+
+    1. Graficar $\displaystyle f_{Y}(y)$ utilizando los valores de probabilidades.
+    2. Calcular la función característica de la variable aleatoria $Y$.
+    3. Calcular $\displaystyle E[Y^2]$ y la varianza.
+
+---
+
+
+**Parte 1:** Graficar $f_{Y}(y)$ utilizando los valores correspondientes de probabilidades. 
+
+Para darle valores a la función de densidad $f_Y(y)$ es necesario normalizar $Z$ y calcular (con tabla o programa de cómputo):
+
+$$
+Z = \frac{X - 50}{10}
+$$
+
+![Distribución normal estándar con áreas coloreadas entre z=-2.5, z=-1, z=1](images/7_gauss_norm.svg)
+
+*Figura 1: Distribución Gaussiana normalizada (representación gráfica)*
+
+---
+
+
+
+- $P\{ X \leq 25 \} = F_X(25) = F_Z(-2.50) = 1 - F_Z(2.50) = 1 - 0.9938 = \mathbf{0.0062}$
+- $P\{ 25 < X \leq 40 \} = F_X(40) - F_X(25) = \mathbf{0.1525}$
+- $P\{ 40 < X \leq 60 \} = F_X(60) - F_X(40) = \mathbf{0.6826}$
+- $P\{ 60 < X < \infty \} = F_X(\infty) - F_X(60) = \mathbf{0.1587}$
+
+Observar que $0.0062 + 0.1525 + 0.6826 + 0.1587 = 1$ Así entonces, la función de densidad discreta (PMF) de Y se reescribe como:
+
+$$
+\begin{aligned}
+    f_{Y}(y) = & 0.0062~ \delta(y-1) \\
+    & + 0.1525~ \delta(y-2) \\
+    & + 0.6826~ \delta(y-3) \\
+    & + 0.1587~ \delta(y-4)
+\end{aligned}
+$$
+
+---
+
+
+
+![Función de densidad en t=1](images/7_pdf_discreta.svg)
+
+Figura: Función de densidad discreta (PMF) de la va Y (no está a escala).
+
+
+
+
+**Parte 2:** Calcular la función característica de la variable aleatoria $Y$
+
+Por definición, la función característica es:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\Phi_{X}(\omega) &= E\left[ e^{j\omega X}\right] \\
+                  &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) e^{j\omega x}  dx
+\end{aligned}
+$$
+
+Aplicando a la variable aleatoria $Y$ resulta:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\Phi_{Y}(\omega) &= E\left[ e^{j\omega Y}\right] \\
+                  &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y) e^{j\omega y}  dy \\
+                  &= \int_{-\infty}^{\infty} \left[ 0.0062 \delta(y-1) + 0.1525 \delta(y-2) \right. \\
+                  & \quad \left. + 0.6826 \delta(y-3) + 0.1587 \delta(y-4) \right] e^{j\omega y}  dy
+\end{aligned}
+$$
+
+---
+
+### Recordatorio sobre la función impulso
+
+La función impulso o delta de Dirac está definida como:
+
+$$
+\delta(x - x_0) =
+\begin{cases}
++\infty & x = x_0 \\
+0 & \text{en otra parte}
+\end{cases}
+$$
+
+Y su integral es:
+
+$$
+\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x)  dx = 1
+$$
+
+pero más en general:
+
+$$
+\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x - x_0) f(x)  dx = f(x_0)}
+$$
+
+---
+
+
+
+Continuando, se determina entonces:
+
+$$
+\begin{aligned}
+\Phi_{Y}(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} \left[ 0.0062 \delta(y-1) + 0.1525 \delta(y-2) \right. \\
+                  & \quad \left. + 0.6826 \delta(y-3) + 0.1587 \delta(y-4) \right] e^{j\omega y}  dy
+\end{aligned}
+$$
+
+Aplicando la propiedad del delta de Dirac:
+
+$$
+\boxed{\Phi_{Y}(\omega) = 0.0062 e^{j\omega 1} + 0.1525 e^{j\omega 2} + 0.6826 e^{j\omega 3} + 0.1587 e^{j\omega 4}}
+$$
+
+Que es la función característica de $Y$.