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docs/2_6_1_valor_esperado_va.md

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-### Presentación
+!!! note "Introducción"
 
-[6 - Valor esperado y momento de una variable aleatoria](https://www.overleaf.com/read/sddgrhxfdtjs#ff3cb6)
+    El valor esperado y los "momentos" (su generalización) permiten caracterizar numéricamente el comportamiento o las tendencias de una variable aleatoria.
 
-### Secciones
-- Valor esperado de una variable aleatoria (1 - 13)
+# Valor esperado de una variable aleatoria, $E[X]$
+
+El valor esperado de una variable aleatoria es uno de los resultados más importantes y más frecuentemente utilizados. Ya lo conocíamos en su forma discreta como "promedio".
+
+!!! example "Ejemplo de la escala de Apgar"
+
+    Los bebés son evaluados en la *escala de Apgar*, creada por Virginia Apgar, quien le puso el retrónimo *Appearance, Pulse, Grimace, Activity, Respiration*.
+
+    Sea $X$ el puntaje de Apgar de un niño seleccionado aleatoriamente en cierto hospital, y suponga que la función de masa de probabilidad (PMF) $P(X)$ es:
+
+    | x     | 0    | 1    | 2    | 3    | 4    | 5    | 6    | 7    | 8    | 9    | 10   |
+    |-------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
+    | P(x) | 0.002| 0.001| 0.002| 0.005| 0.02 | 0.04 | 0.18 | 0.37 | 0.25 | 0.12 | 0.01 |
+
+    **¿Cuál valor de $X$ esperaríamos si elegimos un niño(a) al azar?**
+
+![Distribución Apgar](images/6_escala_apgar.svg)
+
+!!! important "Definición"
+
+    El *valor esperado* es un operador denotado $E[\cdot]$, también conocido como esperanza matemática, valor medio, media o promedio estadístico.
+
+> Un promedio puede verse como "el número más cercano a todos los números del conjunto, en el sentido de que la suma de las distancias desde él a todos los puntos es la más pequeña". Similar a un *centro de gravedad*.
+
+![PDF y valor esperado como centro de gravedad](images/6_pdf_rayleigh.svg)
+
+## Valor esperado de una variable aleatoria continua
+
+!!! tip "Valor esperado de una variable aleatoria continua"
+
+    $$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\, \mathrm{d}x \triangleq \overline{X}$$
+
+Este valor se obtiene utilizando la función de densidad $f_X(x)$, que asigna un peso a cada valor infinitesimal de $x$.
+
+!!! example "Ejemplo: Promedio de una distribución exponencial"
+
+    Sea $X$ una variable aleatoria exponencial con:
+
+    $$
+    f_X(x) = 
+    \begin{cases} 
+    \lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\
+    0 & x < 0 
+    \end{cases}
+    $$
+
+    ¿Cuál es su valor esperado?
+
+    $$
+    \begin{aligned}
+    E[X] &= \int_{0}^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} \, \mathrm{d}x \\
+         &= \left. -x e^{-\lambda x} \right|_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{\lambda}
+    \end{aligned}
+    $$
+
+## Valor esperado de una variable aleatoria discreta
+
+Si $X$ es discreta con valores $x_i$ y probabilidades $P(x_i)$:
+
+\[
+E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \sum_{i=1}^{N} P(x_i)\, \delta(x - x_i)\, dx
+\]
+
+\[
+= \sum_{i=1}^{N} P(x_i) \int_{-\infty}^{\infty} x\, \delta(x - x_i)\, dx = \sum_{i=1}^{N} x_i P(x_i)
+\]
+
+
+$$E[X] = \sum_{i=1}^N x_i P(x_i)$$
+
+!!! tip "Valor esperado de una variable aleatoria discreta"
+
+    El valor esperado es la suma ponderada de los posibles valores:
+
+    $$E[X] = \sum_{i=1}^N x_i P(x_i) \triangleq \overline{X}$$
+
+## Valor esperado de una variable aleatoria simétrica
+
+Si la función de densidad es simétrica alrededor de $x = a$, entonces:
+
+$$E[X] = a \quad \text{si} \quad f_X(x + a) = f_X(-x + a)$$
+
+![PDF simétrica](images/6_pdf_simetrica.svg)
+
+# Valor esperado de una función, $E[g(X)]$
+
+Para una función $g(X)$ de una variable aleatoria $X$:
+
+!!! important "Definición"
+
+    $$E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x) \, \mathrm{d}x$$
+
+Si $X$ es discreta:
+
+!!! important "Definición"
+
+    $$E[g(X)] = \sum_{i=1}^N g(x_i) P(x_i)$$
+
+> En general: $E[g(X)] \neq g(E[X])$
+
+!!! example "Ejemplo: Potencia disipada en un resistor"
+
+    Sea $I$ una corriente con distribución uniforme entre 1 A y 3 A. Entonces:
+
+    $$
+    f_I(i) = 
+    \begin{cases} 
+    1/2 & 1 < i < 3 \\
+    0 & \text{otro caso} 
+    \end{cases}
+    $$
+
+    ¿Cuál es el valor esperado de la corriente $I$? ¿Y de la potencia $P = I^2 R$ si $R = 1\,\Omega$?
+
+**Solución:**
+
+- Promedio de la corriente:
+
+\[
+E[I] = \int_{1}^{3} i \cdot \frac{1}{2} \, \mathrm{d}i = \left. \frac{1}{4} i^2 \right|_1^3 = \frac{9 - 1}{4} = 2~A
+\]
+
+- Potencia disipada:
+
+\[
+E[P] = \int_{1}^{3} i^2 \cdot \frac{1}{2} \, \mathrm{d}i = \left. \frac{1}{6} i^3 \right|_1^3 = \frac{27 - 1}{6} = \frac{26}{6} \approx 4.33~W
+\]
+
+![PDF corriente uniforme](images/6_prom_corriente.svg)  
+![Potencia cuadrática](images/6_prom_potencia.svg)
+
+
+# Valor esperado condicional, $E[X\mid B]$
+
+El valor esperado condicional depende de la función de densidad condicional:
+
+!!! important "Definición"
+
+    $$E[X \mid B] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x \mid B) \, \mathrm{d}x$$
+
+## Caso especial: $B = \{X \leq b\}$
+
+La densidad condicional es:
+
+$$
+f_X(x \mid X \leq b) = 
+\begin{cases} 
+\frac{f_X(x)}{\int_{-\infty}^{b} f_X(x) \, \mathrm{d}x} & x < b \\
+0 & x \geq b 
+\end{cases}
+$$
+
+Entonces:
+
+$$
+\begin{aligned}
+E[X \mid X \leq b] &= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{f_X(x)}{\int_{-\infty}^{b} f_X(x) \, \mathrm{d}x} \, \mathrm{d}x \\
+&= \frac{E[X]}{P(B)}
+\end{aligned}
+$$
+
+> Este es el valor esperado de $X$ restringido al conjunto $\{X \leq b\}$.
+
+![Visualización de $\{X \leq b\}$](images/6_X_leq_b.svg)