Transcripción completada, tema 4.16.1, César Luis Fallas Gutiérrez, C12770

docs/4_16_1_respuesta.md

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-### Presentación
 
-[16 - Respuesta de sistemas lineales a una señal aleatoria](https://www.overleaf.com/read/yfnrpxpcmvsz#5b73e6)
+[ ### Presentación 16 - Respuesta de sistemas lineales a una señal aleatoria]: #
 
-### Secciones
-- Respuesta del sistema (1 - 2)
-- Valor cuadrático medio (2 - 6)
+[ ### Secciones ]: #
+[ - Respuesta del sistema (1 - 2) ]: #
+[ - Valor cuadrático medio (2 - 6) ]: #
+
+[ C12770: No logré dejar la línea horizontal que se encuentra sobre las variables que representan valores medios con \overline{}, usé \bar{} pero no quedó la misma línea. ]: #
+
+# Respuesta del sistema y valor cuadrático medio
+
+!!! abstract "Introducción"
+    En la interacción de señales y sistemas donde hay entradas aleatorias, es posible determinar cantidades útiles para el análisis, como la señal misma o la potencia de salida, conociendo las características determinísticas del sistema y características estadísticas de la entrada.
+
+[ # Respuesta del sistema ]: #
+
+## Respuesta del sistema: convolución
+
+Con $x(t)$ una señal aleatoria, la respuesta de cualquier red eléctrica, denotada por $y(t)$, está dada por la integral de convolución
+
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+    y(t) & = \int_{-\infty}^{\infty} x(\xi) h(t - \xi) \, ~\mathrm{d} \xi \\
+    & = \int_{-\infty}^{\infty} h(\xi) x(t - \xi) \, ~\mathrm{d} \xi \\
+    & = x(t) * h(t)
+\end{aligned} 
+\end{equation}
+
+donde $h(t)$ es la respuesta al impulso de la red. Se está suponiendo un sistema lineal e invariante con el tiempo (LIT).
+
+![Diagrama del sistema lineal e invariante con el tiempo](images/16_sistema_LIT.svg)
+
+La ecuación anterior es una operación sobre un miembro $x(t)$ del agregado del proceso estocástico $X(t)$ que produce un miembro del agregado de un nuevo proceso $Y(t)$. En general, para todo el proceso estocástico,
+
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+    Y(t) & = \int_{-\infty}^{\infty} h(\xi) X(t - \xi) \, ~\mathrm{d} \xi \\
+    & = X(t) * H(t)
+\end{aligned} 
+\end{equation}
+
+[ ## Valor medio y cuadrático medio de la respuesta del sistema ]: #
+
+## Valor medio de la respuesta del sistema
+
+Si $X(t)$ es estacionario en sentido amplio (WSS), entonces
+
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+    E[Y(t)] & = E\left[ \int_{-\infty}^{\infty} h(\xi) X(t - \xi) \, ~\mathrm{d} \xi \right] = \int_{-\infty}^{\infty} h(\xi) E[X(t - \xi)] \, ~\mathrm{d} \xi \\
+    & = \bar{X} \int_{-\infty}^{\infty} h(\xi) \, ~\mathrm{d} \xi = \bar{Y} \quad \text{(constante)}
+\end{aligned}
+\end{equation}
+
+
+Entonces el valor medio de $Y(t)$ iguala al valor medio de $X(t)$ multiplicado por el área bajo la curva de la respuesta al impulso.
+
+## Nota al margen: Relación entre la integración y el valor esperado
+
+Las operaciones de integración y de esperanza matemática son intercambiables, de modo que, para
+
+\begin{equation}
+\int_{t_{1}}^{t_{2}} E[|W(t)|] |h(t)| \, ~\mathrm{d} t < \infty
+\end{equation}
+
+donde $t_{1}$, $t_{2}$ son constantes reales que pueden ser infinitas, aplica que
+
+\begin{equation}
+E\left[ \int_{t_{1}}^{t_{2}} W(t) h(t) \, ~\mathrm{d} t \right] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} E[W(t)] h(t) \, ~\mathrm{d} t
+\end{equation}
+
+donde $W(t)$ es alguna función acotada de un proceso aleatorio (sobre el intervalo $[t_{1}, t_{2}]$) y $h(t)$ es una función del tiempo, no aleatoria.
+
+## Valor cuadrático medio de la respuesta del sistema
+
+Para el valor cuadrático medio de $Y(t)$, se calcula
+
+\begin{equation} 
+\begin{aligned}
+    E[Y^2(t)] & = E\left[ \int_{-\infty}^{\infty} h(\xi_{1}) X(t - \xi_{1}) \, ~\mathrm{d} \xi_{1} \int_{-\infty}^{\infty} h(\xi_{2}) X(t - \xi_{2}) \, ~\mathrm{d} \xi_{2} \right] \\
+    & = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} E[X(t - \xi_{1}) X(t - \xi_{2})] h(\xi_{1}) h(\xi_{2}) \, ~\mathrm{d} \xi_{1} \, ~\mathrm{d} \xi_{2}
+\end{aligned} 
+\end{equation}
+
+Si se supone que la entrada es estacionaria en sentido amplio:
+
+\begin{equation}
+E[X(t - \xi_{1}) X(t - \xi_{2})] = R_{XX}(\xi_{1} - \xi_{2})
+\end{equation}
+
+con lo que la ecuación se vuelve independiente de $t$:
+
+\begin{equation} 
+\begin{aligned}
+    \bar{Y^2} & = E[Y^2(t)] \\
+    & = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} R_{XX}(\xi_{1} - \xi_{2}) h(\xi_{1}) h(\xi_{2}) \, ~\mathrm{d} \xi_{1} \, ~\mathrm{d} \xi_{2}
+\end{aligned} 
+\end{equation}
+
+---
+
+:material-pencil-box: **EJEMPLO**
+
+!!! example "Sistema con entrada de ruido blanco"
+    Se encontrará $\bar{Y^2}$ para un sistema con ruido blanco gaussiano en su entrada. 
+
+Aquí:
+
+\begin{equation}
+R_{XX}(\xi_{1} - \xi_{2}) = (\mathcal{N}_0 / 2) \delta(\xi_{1} - \xi_{2})
+\end{equation}
+
+donde $\mathcal{N}_0$ es una constante real positiva. Luego,
+
+\begin{equation}
+\bar{Y^2} = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (\mathcal{N}_0 / 2) \delta(\xi_{1} - \xi_{2}) h(\xi_{1}) ~\mathrm{d} \xi_{1} h(\xi_{2}) ~\mathrm{d} \xi_{2}
+\end{equation}
+
+!!! note ""
+    Se concluye que:
+
+    \begin{equation}
+    \bar{Y^2} = (\mathcal{N}_0 / 2) \int_{-\infty}^{\infty} h^2(\xi_{2}) \, ~\mathrm{d} \xi_{2}
+    \end{equation}
+
+    La potencia de salida se vuelve proporcional al área bajo el cuadrado de la curva de $h(t)$, en este ejemplo.
+
+---