Cambios sugeridos por el asistente

docs/2_8_1_disipacion_potencia.md

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-### Presentación
+---
 
-[8 - Transformaciones de una variable aleatoria](https://www.overleaf.com/read/ndsxqhnskwzg#a6c0a8)
+:material-pencil-box: **Ejemplo de disipación de potencia en un resistor**
 
-### Secciones
-- Ejemplos de disipación de potencia (14 - 23)
-- Ejemplo de una variable aleatoria, TI, TII y TIII (24 - 28)
+!!! example "Disipación de potencia en un resistor"
+
+    Sea \( I \) una variable aleatoria que denota la corriente en un resistor \( R \) de valor \(1~\Omega\).  
+    \( I \) tiene una distribución uniforme en el intervalo de 1 a 3 A, es decir:
+
+    $$
+    f_I(i) =
+    \begin{cases} 
+    \frac{1}{2} & 1 < i < 3 \\
+    0 & \text{en otra parte}
+    \end{cases}
+    $$
+
+    ¿Cuál es el promedio de la corriente \( I \)?  
+    ¿Cuál es el promedio de la potencia disipada en \( R \), con \( P = g(I) = I^2 R \)?
+
+    ---
+    Primero se hará el cálculo mediante E[g(I)] (como se hizo en una presentación anterior) y luego a través de la nueva función de densidad fP (p).
+
+    $$
+    \begin{aligned}
+    E[I] & = \int_{-\infty}^{\infty} i \cdot f_{I}(i) \, \mathrm{d}i \\ 
+        & = \int_{1}^{3} i \cdot \frac{1}{2} \, \mathrm{d}i \\
+        & = 2\,\text{A}
+    \end{aligned}
+    $$
+
+    ![Promedio de corriente](./images/8_prom_corriente.svg)
+
+    ---
+
+
+    $$
+    \begin{aligned}
+    E[P] & = \int_{1}^{3} i^2 \cdot \frac{1}{2} \, \mathrm{d}i \\
+        & = \frac{13}{3} \approx \boxed{4.33\,\text{W}}
+    \end{aligned}
+    $$
+
+    ![Promedio de potencia](./images/8_prom_potencia.svg)
+
+    ---
+    Es posible obtener \( E[P] \) desde \( f_P(p) \) por medio de la transformación \( g(I) = P = I^2 R \), con
+
+    \[
+    h(P) = I = \sqrt{\frac{P}{R}},
+    \]
+
+    y con los límites \(1 < i < 3\) y \(1 < p < 9\). Aplicando el teorema:
+
+    \[
+    f_P(p) = f_I \bigl[ h(p) \bigr] \cdot \left| h'(p) \right| = f_I \left[ \sqrt{\frac{p}{R}} \right] \cdot \left| \frac{(p/R)^{-1/2}}{2} \right|
+    \]
+
+
+
+    $$
+    \begin{aligned}
+    f_P(p) & = f_I\left( \sqrt{p} \right) \cdot \left| \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p} \sqrt{p} \right|^{-1} \\
+        & = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{1}{2 \sqrt{p}} \right| = \boxed{\frac{1}{4 \sqrt{p}} \quad \text{para } 1 < p < 9}
+    \end{aligned}
+    $$
+
+    ---
+    Y su promedio es:
+
+    $$
+    \begin{aligned}
+    E[P] & = \int_{1}^{9} p \cdot \frac{1}{4 \sqrt{p}} \, \mathrm{d}p = \frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{p} \, \mathrm{d}p \\
+        & = \frac{1}{4} \cdot \left. \frac{2}{3} p^{3/2} \right|_1^9 
+        = \frac{13}{3} \approx \boxed{4.33\,\text{W}}
+    \end{aligned}
+    $$
+
+    ![Disipación lineal](./images/8_disipacion_constante.png)
+
+
+
+<p style="text-align: right; font-size: 22px; color: #0099cc;">
+  Simulación de la potencia en un resistor
+</p>
+
+
+<span style="color:green; font-weight:bold;">import</span> <span style="color:blue; font-weight:bold;">numpy</span> <span style="color:green; font-weight:bold;">as</span> <span style="color:blue; font-weight:bold;">np</span>
+
+<span style="color:green; font-weight:bold;">from</span> <span style="color:blue; font-weight:bold;">scipy</span> <span style="color:green; font-weight:bold;">import</span> stats
+
+<span style="color:gray; font-style:italic;"># Inicialización de vectores</span>
+
+N = 500
+
+Irvs = [0]*N
+
+P = [0]*N
+
+<span style="color:gray; font-style:italic;"># Distribución de la corriente</span>
+
+I = stats.uniform(1, 2)
+
+<span style="color:gray; font-style:italic;"># Simulación</span>
+
+<span style="color:green; font-weight:bold;">for</span> i <span style="color:violet; font-weight:bold;">in</span> <span style="color:green; font-weight:bold;">range </span> (N):
+
+  Irvs[i] = I.rvs()
+
+  P[i] = Irvs[i]**2
+
+
+
+![Descripción alternativa](./images/8_sim_corriente.svg)
+
+![Descripción alternativa](./images/8_sim_potencia.svg)
+
+
+---
+
+:material-pencil-box: **Ejemplo de distribución uniforme y transformaciones de una variable aleatoria**
+
+!!! example "Distribución uniforme y transformaciones de una variable aleatoria"
+
+    Sea \( X \sim \mathsf{unif}(0,1) \) (es decir, \( f_X(x) = 1 \) en \(0 \leq x \leq 1\)).  
+    Se define una nueva variable \( Y = 2\sqrt{X} \). Encuentre \( f_Y(y) \).
+
+    La función \( g(X) = 2\sqrt{X} \) es monótona en \([0, 1]\) y tiene una inversa \( h(y) = \frac{y^2}{4} \).
+
+    Se aplica el teorema:
+
+    $$
+    \begin{aligned}
+    f_Y(y) & = f_X(h(y)) \left| h'(y) \right| = (1) \left| \frac{d}{dy} \frac{y^2}{4} \right| \\
+           & = \frac{2y}{4} \\
+    \boxed{
+    f_Y(y) = \frac{y}{2} \quad \text{en} \quad y \in [0, 2]
+    }
+    \end{aligned}
+    $$
+
+---
+
+
+---
+
+:material-pencil-box: **Otro ejemplo de la disipación de potencia en un resistor**
+
+!!! example "Otro ejemplo de la disipación de potencia en un resistor"
+
+    La variación en cierta fuente de corriente eléctrica \( X \) (en miliamperios) puede ser modelada por el PDF
+
+    $$
+    f_X(x) =
+    \begin{cases}
+    1.25 - 0.25 x & 2 \leq x \leq 4 \\
+    0 & \text{en otros casos}
+    \end{cases}
+    $$
+
+    Si esta corriente pasa por un resistor de \(220\, \Omega\), la potencia disipada es dada por la expresión \( Y = 220 X^2 \).  
+    ¿Cuál es la función de densidad de \( Y \)?
+
+    La función \( y = g(x) = 220 x^2 \) es monótonamente creciente en el rango de \( X \), \([2,4]\), y tiene función inversa  
+    \( x = h(y) = g^{-1}(y) = \sqrt{\frac{y}{220}} \).
+
+    Aplicando el teorema de transformación, entonces,
+
+    $$
+    \begin{aligned}
+    f_Y(y) & = f_X(h(y)) \left| h'(y) \right| \\
+           & = f_X \left( \sqrt{\frac{y}{220}} \right) \left| \frac{d}{dy} \sqrt{\frac{y}{220}} \right| \\
+           & = \left(1.25 - 0.25 \sqrt{\frac{y}{220}} \right) \frac{1}{2\sqrt{220 y}} \\
+           & = \frac{1}{2\sqrt{220 y}} - \frac{1}{1760}
+    \end{aligned}
+    $$
+
+    Y por tanto,
+
+    $$
+    \boxed{
+    f_Y(y) = 
+    \begin{cases}
+    \frac{1}{2\sqrt{220 y}} - \frac{1}{1760} & 880 \leq y \leq 3520 \\
+    0 & \text{en otra parte}
+    \end{cases}
+    }
+    $$
+
+    ![Disipación lineal](./images/8_disipacion_lineal.png)
+
+
+---
+
+
+---
+
+:material-pencil-box: **Ejemplo Transformación de variable aleatoria \( T \)**
+
+!!! example "Transformación de variable aleatoria \( T \)"
+
+    Hay una variable aleatoria \( T \) distribuida uniformemente en el intervalo \([1,7]\). Sobre ella se aplica una transformación
+
+    $$
+    U = T^{2} - T - 6
+    $$
+
+    1. Encontrar \( f_{U}(u) \), la función de densidad probabilística de la variable aleatoria \( U \).  
+    2. Calcular \( P\{-4 < U \leq 14\} \).
+
+    **Parte 1**: Encontrar \( f_{U}(u) \), la función de densidad probabilística de la variable aleatoria \( U \).
+
+    La variable aleatoria \( T \) dada es
+
+    $$
+    f_T(t) =
+    \begin{cases}
+    \frac{1}{6} & 1 \leq t \leq 7 \\
+    0	& \text{en otra parte}
+    \end{cases}
+    $$
+
+    La transformación \( U = g(T) \) es monótonamente creciente en el intervalo \([1,7]\), por tanto es posible utilizar la fórmula
+
+    $$
+    f_U(u) = f_T(h(u)) \left| \frac{d}{du} h(u) \right|
+    $$
+
+    donde \( h(u) \) es la función inversa.
+
+    Se obtiene \( h(u) \) de la forma
+
+    $$
+    \begin{aligned}
+    u &= t^2 - t - 6 \\
+    0 &= t^2 - t - (u + 6) \\
+    t &= \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-u - 6)}}{2} \quad \text{(fórmula general)} \\
+      &= \frac{1 \pm \sqrt{4u + 25}}{2}
+    \end{aligned}
+    $$
+
+    Se elige la solución positiva, y queda
+
+    $$
+    h(u) = \frac{1 + \sqrt{4u + 25}}{2}
+    $$
+
+    Ahora, para derivar la función inversa, se utiliza regla de la cadena   
+
+    $$
+    \begin{aligned}
+    \frac{d}{du} h(u) &= \frac{d}{du} \left[ \frac{1 + \sqrt{4u + 25}}{2} \right] \\
+    &= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{2\sqrt{4u + 25}} = \frac{1}{\sqrt{4u + 25}}
+    \end{aligned}
+    $$
+
+    Y entonces, se evalúa
+
+    $$
+    f_U(u) = f_T(h(u)) \left| \frac{d}{du} h(u) \right| = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{4u + 25}}
+    $$
+
+    Evaluando también los límites de \( T \) en la transformación \( g(T) \), la función de densidad buscada es
+
+    $$
+    \boxed{
+    f_U(u) =
+    \begin{cases}
+    \frac{1}{6 \sqrt{4u + 25}} & -6 \leq u \leq 36 \\
+    0	& \text{en otra parte}
+    \end{cases}
+    }
+    $$
+
+
+    **Parte 2**: Calcular \( P\{-4 < U \leq 14\} \)
+
+    La probabilidad \( P\{-4 < U \leq 14\} \) requiere la integración de \( f_U(u) \) en ese intervalo. Esta
+    integral puede ser más o menos difícil de evaluar, pero es posible calcularla
+    numéricamente con las calculadoras científicas comunes, resultando
+
+    $$
+    P\{-4 < U \leq 14\} = \int_{-4}^{14} \frac{1}{6 \sqrt{4u + 25}} \, du = \boxed{0.5}
+    $$
+
+    En todo caso, la integral (a partir de una tabla de integrales) es
+
+    $$
+    \int \frac{1}{6 \sqrt{4u + 25}} \, du = \frac{1}{12} \sqrt{4u + 25}
+    $$
+
+    y la evaluación en \([-4, 14]\) da en efecto igual a 0.5.
+
+---